Produit scalaire dans le plan


  • T

    Bonjour j'ai exo que je ne comprends pas
    On donne les points A(4;2) et B(-1;-3) et on note I le milieu du segment [AB]. Détermine et construis l'ensemble (C)des points M du plan tels que MA.MB=AB²


  • mtschoon

    @Traoré , bonsoir,

    Piste,

    Tu dois avoir une propriété dans ton cours (que tu peux démontrer avec la relation de Chasles, si besoin)
    MA→.MB→=MI2−AB24\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MI^2-\dfrac{AB^2}{4}MA.MB=MI24AB2

    Ainsi, la condition de l'énoncé s'écrit
    MI2−AB24=AB2MI^2-\dfrac{AB^2}{4}=AB^2MI24AB2=AB2

    Tu isoles MI2MI^2MI2, tu calcules AB2AB^2AB2, et tu pourras déduire la valeur de MIMIMI et la conclusion.

    Reposte si besoin.


  • T

    @mtschoon bonsoir
    MA.MB=(MI+IA).(MI+IB)=MI²+MI.IB+IA.MI+IA.IB=MI²+MI(IA+IB)-IA²=MI²-(AB/2)²=MI-AB²/4
    Donc AB²=50 j'espère que ce que j'ai fait là c'est ça


  • mtschoon

    @Traoré , bonjour

    Il manque un carré à MIMIMI à la fin de ton calcul (faute de frappe sans doute)

    AB2=50AB^2=50AB2=50 est bon.

    Tu peux donc déduire , comme indiqué pércédemment :
    MI2=AB2+AB24MI^2=AB^2+\dfrac{AB^2}{4}MI2=AB2+4AB2

    Tu remplaces AB2AB^2AB2 par 505050 et tu dois trouver, sauf erreur,
    MI2=2504MI^2=\dfrac{250}{4}MI2=4250, c'est à dire : MI=5102MI=\dfrac{5\sqrt{10}}{2}MI=2510

    Conclusion:
    I est fixe. Les points M sont à la distance 5102\dfrac{5\sqrt{10}}{2}2510 de I

    Tu en déduis l'ensemble (C) des points M.

    Donne ta réponse si tu souhaite une vérification.


  • B

    Bonjour,

    Alternative. (probablement pas celle attendue)

    Soit M(X ; Y)
    vect(MA) = (4-X;2-Y)
    vect(MB) = (-1-X;-3-Y)
    vect(MA).vect(MB) = (4-X)(-1-X)+(2-Y)(-3-Y) = 50
    X²-3X+Y²+Y-10= 50
    (X-3/2)² - 9/4 + (Y+1/2)² - 1/4 -10 + 60
    (X-3/2)² + (Y+1/2)² = 62,5
    Comme I(3/2 ; -1/2), le lieu des points M est un cercle centré sur I (point milieu de [AB]) et de rayon =62,5= \sqrt{62,5}=62,5


  • mtschoon

    @Traoré ,

    Je te laissais trouver la nature de (C), mais vu qu'elle t'a été donnée, je te joins l'illustration graphique I(32,−12)I(\dfrac{3}{2},-\dfrac{1}{2})I(23,21)
    (C)(C)(C) cercle de centre III et de rayon R=5102R=\dfrac{5\sqrt{10}}{2}R=2510
    R≈7.9R\approx 7.9R7.9

    cercle.jpg

    Bon travail.


  • mtschoon

    J'espère que c'est clair pour toi.