Complexes, solution d'une équation et de son conjugué

Dans l'ensemble C des nombres complexes, on considère le polynôme P définie par P(z)=z⁴+3z²-6z+10
1- Montrer que si un nombre complexe z0 est une solution de l'équation P(z)=0 alors P(zo barre) où z0 barre est le nombre complexe conjugué de z0

@Yaris , bonjour
Ta question n'est pas très claire.
Peut-être que tu veux dire que si $z_0$ est solution de $P (z) = 0$ , alors $zˉ0\bar z_0$ est aussi solution de l'équation $P (z) = 0$ .

Si c'est bien ça, utilise les proprités des conjuqués.

Piste,

$z_0$ solution de $P (z) = 0$ veut dire que $z_0^4+3z_02-6z_0+10=0$

En prenant le conjuqué de chaque membre

$z04+3z02−6z0+10‾=0‾\overline{z_0^4+3z_0^2-6z_0+10}=\overline{0}$

Vu que le conjugué de de 0 est 0

$z04+3z02−6z0+10‾=0\overline{z_0^4+3z_0^2-6z_0+10}=0$

En utilisant les propriétés des conjuqués d'une somme , d'une différence, d'un produit, d'une puissance et sachant que le conjugué d'un réel est lui-même , tu décomposes le membre de gauche, et au final tu peux écrire :

$z0‾4\overline{z_0}^4$ + $3z0‾23\overline{z_0}^2$ -6 $z0‾\overline{z_0}$ +10=0

c'est à dire $z‾0\overline z_0$ est solution de l'équation $P (z) = 0$

Bonjour,

@Yaris , j'espère que tu as compris la réponse à ta question.

J'imagine que ce doit être le début d'un exercice où l'on demande de résoudre l'équation
$z^4+3z^2-6z+10=0$ $(E)$

Pour consultation éventuelle, je mets quelques pistes possibles pour la résolution (je ne mets pas les calculs).

Vu qu'il n'y a pas de solution "évidente", je pense que l'énoncé aide à en trouver une, par exemple en demandant de calculer $P (1 + i)$

On doit trouver $P (1 + i) = 0$ donc $(1 + i)$ solution de $(E)$
Grace à la première question (elle est là pour ça) on peut déduire que $(1 - i)$ est aussi solution de $(E)$

Dans $P (z)$ , on peut mettre $(z−(1+i))(z−(1−i))\biggr(z-(1+i)\biggr)\biggr(z-(1-i)\biggr)$ en facteur
Or , après calculs, $(z−(1+i))(z−(1−i))=(z2−2z+2)\biggr(z-(1+i)\biggr)\biggr(z-(1-i)\biggr)=(z^2-2z+2)$

$P (z)$ peut donc s'écrire : $P(z)=(z^2-2z+2)(az^2+bz+c)$
Par la méthode par identification ( ou la division euclidienne) , on trouve $a = 1, b = 2, c = 5$ .

Donc : $P(z)=(z^2-2z+2)(z^2+2z+5)$

Après calculs, on trouve que l'équation $z^2+2z+5=0$ a pour solutions $(- 1 - 2 i)$ et $(- 1 + 2 i)$

Conclusion :
les solutions de $P (z) = 0$ , c'est à dire de $(E)$ sont :
$(1+i),(1−i),(−1−2i),(−1+2i)\boxed{(1+i), (1-i), (-1-2i), (-1+2i)}$

Bons calculs et bonne lecture éventuelle.