SVP j ai besoin d aide dans un exercice de nombres complexes


  • Mariem jabloun

    Bonjour
    j ai des difficultés a répondre aux questions suivantes
    résoudre dans C l équation (E): 1+2z+2z^2+2z^3+2z^3+2z^4+z^5=0
    -le plan complexe est rapporte a un repere orthonorme direct (o,u,v)
    on appelle A0,A1,A2,A3,A4 les points a affixes respectives 1,z1,z1^2,z2^2,z3^2,z4^2
    soit H le point d intersection de la droite (A1A4) et l axe (o,u)
    montrer que zH=cos2pi/5


  • mtschoon

    @Mariem-jabloun , bonjour,

    Je regarde ta question 1) : 1+2z+2z^2+2z^3+2z^3+2z^4+z^5=0

    Bizarre : 2z^3 est écrit deux fois...

    Faute de frappe ?

    Piste pour le cas où il s'agit de
    1+2z+2z2+2z3+2z4+z5=0\boxed{1+2z+2z^2+2z^3+2z^4+z^5=0}1+2z+2z2+2z3+2z4+z5=0

    Solution évidente : z=−1\boxed{z=-1}z=1

    Tu peux mettre (z+1)(z+1)(z+1) en facteur
    Sauf erreur, l'équation peut s'écrire :
    (z+1)(z4+z3+z2+z+1)=0(z+1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=0(z+1)(z4+z3+z2+z+1)=0

    Il faut résoudre 1+z+z2+z3+z4=01+z+z^2+z^3+z^4=01+z+z2+z3+z4=0
    Utilise la formule de la somme des 5 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison zzz
    Tu t'assures que 111 n'est pas solution de l'équation.
    1−z51−z=0\dfrac{1-z^5}{1-z}=01z1z5=0 <=> 1−z5=01-z^5=01z5=0 <=> z5=1z^5=1z5=1
    zzz est donc racine 5ième de 1 ( sauf 111)
    z=e2ikπ5\boxed{z=e^{\dfrac{2ik\pi}{5}}}z=e52ikπ avec kkk prenant les valeurs 1,2,3,41,2,3,41,2,3,4
    Tu exprimes ces solutions sous la forme qui te convient

    Tu obtiens ainsi les 5 solutions de l'équation.

    Vérifie que la piste donnée corresponde à l'équation que tu voulais écrire.

    Pour la question 2, je trouve ton énoncé pas assez précis pour pouvoir y répondre...détaille les notations utilisées.


  • Mariem jabloun

    @mtschoon
    oui j ai répondu a cette question
    mais pour la deuxième question je pense que z1,z2...et z4 sont les solutions de cette équation
    ce n est pas précis dans l énoncé
    si non pourriez vous me donner la méthode pour trouver l affixe d un point sachant qu il est l intersection de deux droites


  • B

    Bonjour,

    "on appelle A0,A1,A2,A3,A4 les points a affixes respectives 1,z1,z1^2,z2^2,z3^2,z4^2"

    Il y a une erreur d'énoncé ... on donne 5 points pour 6 affixes.


  • mtschoon

    @Mariem-jabloun ,

    Comme déjà dit, la seconde question n'est pas claire.
    Les données auraient dû être explicitées.
    De plus, il y a (encore) une anomalie.

    Tu écris :
    on appelle A0,A1,A2,A3,A4 les points a affixes respectives 1,z1,z1^2,z2^2,z3^2,z4^2
    Cela fait 5 points et 6 affixes !

    Je suppose que z1 est de trop (???) ce n'est qu'une supposition...
    Ainsi, A0,..,A4A_0,.., A_4A0,..,A4 auraient pour affixes les carrés des solutions de l'équation (E)

    Avec l'ordre que j'ai donné à la première question :

    A0:(−1)2=1A_0 : (-1)^2=1A0:(1)2=1

    A1:(e2iπ5)2=e4iπ5A_1 : \biggr(e^{\dfrac{2i\pi}{5}}\biggr)^2=e^{\dfrac{4i\pi}{5}}A1:(e52iπ)2=e54iπ

    A2:(e4iπ5)2=e8iπ5=e−2iπ5A_2 : \biggr(e^{\dfrac{4i\pi}{5}}\biggr)^2=e^{\dfrac{8i\pi}{5}}=e^{-\dfrac{2i\pi}{5}}A2:(e54iπ)2=e58iπ=e52iπ

    A3:(e6iπ5)2=e12iπ5=e2iπ5A_3 : \biggr(e^{\dfrac{6i\pi}{5}}\biggr)^2=e^{\dfrac{12i\pi}{5}}=e^{\dfrac{2i\pi}{5}}A3:(e56iπ)2=e512iπ=e52iπ

    A4:(e8iπ5)2=e16iπ5=e−4iπ5A_4 : \biggr(e^{\dfrac{8i\pi}{5}}\biggr)^2=e^{\dfrac{16i\pi}{5}}=e^{-\dfrac{4i\pi}{5}}A4:(e58iπ)2=e516iπ=e54iπ

    Tu peux placer ces points de module 1 (donc sur le cercle trigonométrique) dans le plan complexe.
    A1A_1A1 et A4A_4A4 sont symétriques par rapport à l'axe des réels (axe des abscisses);
    Idem pour A2A_2A2 et A3A_3A3

    L'affixe de H est donc l'abscisse commune de A1A_1A1 et A4A_4A4
    Elle vaut cos4π5cos\dfrac{4\pi}{5}cos54π

    Ce n'est pas ce que tu indiques dans ton énoncé...

    Pour obtenir cos2π5cos\dfrac{2\pi}{5}cos52π il aurait fallu que H soit à l'intersection de (A2A3)(A_2A_3)(A2A3) avec l'axe des réels.

    Remarque : vu que tu dis que les valeurs de z1,z2,z3,z4z_1,z_2,z_3,z_4z1,z2,z3,z4 ne sont pas indiquées dans ton énoncé (ce qui est fort surprenant), tu peux échanger les notations entre (A1,A4)(A_1, A_4)(A1,A4) et (A2,A3)(A_2,A_3)(A2,A3) pour obtenir la réponse proposée cos2π5cos\dfrac{2\pi}{5}cos52π.

    En bref, vérifie ton énoncé et adapte.


  • mtschoon

    @Mariem-jabloun ,

    Illustration correspondant aux propositions données
    complexes.jpg


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