Matrice et chaine de markov.

Bonjour, en cette fin d’année scolaire on nous donne plus rien à faire, alors je suis bien obligé de m’occuper par moi même. Ainsi j’ai décidé de faire un exercice « allegro » sur l’utilisation des matrices. Je bloque sur une question nécessitant juste la manipulation de matrice. Voici l’énoncé : Determiner la matrice $π=(1−p)πA+C\pi = (1-p)\pi A + C$ .
Je suis sensé exprimer $π\pi$ sans qu’il dépende de lui. Comment faire et qu’es-ce qui me manque afin que je puisse surmonter cela à l’avenir ?

@perplexus , bonjour

Je ne peux pas te répondre sans précisions sur ta question...

Ta question fait penser à un état stable de la forme $π=πP\pi=\pi P$ , avec $P$ matrice de passage.
Dan ce cas , je t'aurais dit qu'on se ramenait à résoudre un système d'équations linéaires.

Mais, visiblement ce n'est pas de cela dont-il s'agit.
je suppose que $(1 - p)$ est une probabilité (réel compris entre 0 et 1)

Il faudrait indiquer la nature exacte de ces matrices $π,A,C\pi, A, C$ : matrices ligne ou colonne, matrices carrées, leur ordre, pour que tu puisses avoir une réponse correcte.

Voici quelques précisions :
$π\pi$ est la matrice ligne de taille 4, A est la matrice de transition carré de taille 4 et C une matrice ligne aussi de taille 4. Voila ce que je suis sensé obtenir : $π=C(I4−(1−p)A)−1\pi = C (I^{4} - (1-p)A)^{-1}$ .

@perplexus , merci pour les précisions

Une remarque :
Tu n'as rien indiqué sur la notation $I^4$
Cett notation me semble être bizarre...
Il doit s'agir de la matrice neutre pour la multiplication matricielle (matrice unité), qui est d'ordre 4, qu'il vaudrait mieux noter $I_4$ car la notation d'exposant 4 est ambigüe...

Je la note $I_4$

$1)I_4=\begin{pmatrix}1 \ 0\ 0\ 0 \cr 0 \ 1\ 0 \ 0\cr 0\ 0\ 1\ 0\cr 0\ 0 \ 0 ^\ 1 \end{pmatrix}$
Démarches du calcul

$π=(1−p)πA+C\pi=(1-p)\pi A+C$

$π−(1−p)πA=C\pi -(1-p)\pi A=C$

Vu que $πI4=π\pi I_4=\pi$ ,

$πI4−(1−p)πA=C\pi I_4-(1-p)\pi A=C$

$π(I4−(1−p)A)=C\pi(I_4-(1-p)A)=C$

D'où ( en admettant que la matrice $I_4-(1-p)A$ est inversible et en mulipliant chaque membre par $I_4-(1-p)A)^{-1}$

$π=C(I4−(1−p)A)−1\boxed{\pi=C(I_4-(1-p)A)^{-1}}$

CQFD