Matrice et chaine de markov.


  • perplexus

    Bonjour, en cette fin d’année scolaire on nous donne plus rien à faire, alors je suis bien obligé de m’occuper par moi même. Ainsi j’ai décidé de faire un exercice « allegro » sur l’utilisation des matrices. Je bloque sur une question nécessitant juste la manipulation de matrice. Voici l’énoncé : Determiner la matrice π=(1−p)πA+C\pi = (1-p)\pi A + Cπ=(1p)πA+C.
    Je suis sensé exprimer π\piπ sans qu’il dépende de lui. Comment faire et qu’es-ce qui me manque afin que je puisse surmonter cela à l’avenir ?


  • mtschoon

    @perplexus , bonjour

    Je ne peux pas te répondre sans précisions sur ta question...

    Ta question fait penser à un état stable de la forme π=πP\pi=\pi Pπ=πP, avec PPP matrice de passage.
    Dan ce cas , je t'aurais dit qu'on se ramenait à résoudre un système d'équations linéaires.

    Mais, visiblement ce n'est pas de cela dont-il s'agit.
    je suppose que (1−p)(1-p)(1p) est une probabilité (réel compris entre 0 et 1)

    Il faudrait indiquer la nature exacte de ces matrices π,A,C\pi, A, Cπ,A,C : matrices ligne ou colonne, matrices carrées, leur ordre, pour que tu puisses avoir une réponse correcte.


  • perplexus

    Voici quelques précisions :
    π\piπ est la matrice ligne de taille 4, A est la matrice de transition carré de taille 4 et C une matrice ligne aussi de taille 4. Voila ce que je suis sensé obtenir : π=C(I4−(1−p)A)−1\pi = C (I^{4} - (1-p)A)^{-1}π=C(I4(1p)A)1.


  • mtschoon

    @perplexus , merci pour les précisions

    Une remarque :
    Tu n'as rien indiqué sur la notation I4I^4I4
    Cett notation me semble être bizarre...
    Il doit s'agir de la matrice neutre pour la multiplication matricielle (matrice unité), qui est d'ordre 4, qu'il vaudrait mieux noter I4I_4I4 car la notation d'exposant 4 est ambigüe...

    Je la note I4I_4I4

    I4=(1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1)I_4=\begin{pmatrix}1 \ 0\ 0\ 0 \cr 0 \ 1\ 0 \ 0\cr 0\ 0\ 1\ 0\cr 0\ 0 \ 0 ^\ 1 \end{pmatrix}I4=1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
    Démarches du calcul

    π=(1−p)πA+C\pi=(1-p)\pi A+Cπ=(1p)πA+C

    π−(1−p)πA=C\pi -(1-p)\pi A=Cπ(1p)πA=C

    Vu que πI4=π\pi I_4=\piπI4=π,

    πI4−(1−p)πA=C\pi I_4-(1-p)\pi A=CπI4(1p)πA=C

    π(I4−(1−p)A)=C\pi(I_4-(1-p)A)=Cπ(I4(1p)A)=C

    D'où ( en admettant que la matrice I4−(1−p)AI_4-(1-p)AI4(1p)A est inversible et en mulipliant chaque membre par (I4−(1−p)A)−1(I_4-(1-p)A)^{-1}(I4(1p)A)1

    π=C(I4−(1−p)A)−1\boxed{\pi=C(I_4-(1-p)A)^{-1}}π=C(I4(1p)A)1

    CQFD