Probabilités commune à plusieurs tirages différents avec remise

[nayfen]

Bonjour,

J'aurais besoin d'avoir une explication simple sur la façon de calculer la probabilité dans le problème suivant :

Je dispose de 3 caisses.
Dans la première, il y a 10 000 éléments, 9 999 pommes et 1 abricot.
Dans la deuxième, il y a 2 000 éléments, 1 999 pommes et 1 abricot.
Dans la dernière, il y a 1 000 éléments, 999 pommes et 1 abricot.

L'expérience est la suivante :

• Tirer 200 fois, avec remise dans la première caisse
• Tirer 100 fois, avec remise, dans la deuxième
• Tirer 100 fois avec remise, dans la dernière.

Quelle est la probabilité, sur les 400 tirages, d'avoir 1 abricot.

on peut calculer la probabilité pour une seule caisse facilement (première caisse : 1-(9999/10000)**200)
et ça se décline pour les autres caisse, mais étant donné qu'il y a 3 tirages différents, comment calcule-t-on la probabilité totale (une simple addition n'est pas possible car c'est un tirage avec remise) ?

Merci !

[Black-Jack]

Bonjour,

Comme presque toujours ce type d'énoncé est mal écrit.

Que signifie : "Quelle est la probabilité, sur les 400 tirages, d'avoir 1 abricot."

a) soit on demande la proba d'avoir exactement 1 abricot
b) soit on demande la probabilité d'avoir au moins 1 abricot

... quelle est la proba demandée ?
Celle du point a ou celle du point b ?

Et non, cela ne va pas sans dire.

[nayfen]

@Black-Jack Eh bien j'aimerais bien connaitre la démarche à suivre dans les deux cas ^^
Merci pour votre réponse

[Black-Jack]

Rebonjour,

J'aurais fait ceci :

Tirer 200 fois, avec remise dans la première caisse
Proba d'avoir 0 abricot = (9998/9999)^200 (P1)

Tirer 100 fois, avec remise, dans la deuxième.
Proba d'avoir 0 abricot = (1998/1999)^100 (P2)

Tirer 100 fois avec remise, dans la dernière.
Proba d'avoir 0 abricot = (998/999)^100 (P3)

Proba d'avoir 0 abricot après les 400 tirages = P1 * P2 * P3

Proba d'avoir AU MOINS 1 abricot après les 400 tirages = 1 - (P1 * P2 * P3) = 0,156496108

Proba d'avoir exactement 1 abricot après les 400 tirages = (1 - P1) * P2P3 + (1 - P2) * P1P3 + (1-P3)P1P2 = 0,149175279

Mais les probas et moi on n'est pas très copains et donc tu as intérêt à vérifier.

[nayfen]

Proba d'avoir 0 abricot après les 400 tirages = P1 * P2 * P3

Proba d'avoir AU MOINS 1 abricot après les 400 tirages = 1 - (P1 * P2 * P3) = 0,156496108

Pour ces deux là, décomposés de cette façon ça parait effectivement logique, c'est bien le resultat que je pensais mais je n'était pas certain, merci !

[mtschoon]

Bonjour,

@Black-Jack a dit dans Probabilités commune à plusieurs tirages différents avec remise :

J'aurais fait ceci :

Tirer 200 fois, avec remise dans la première caisse
Proba d'avoir 0 abricot = (9998/9999)^200 (P1)

Tirer 100 fois, avec remise, dans la deuxième.
Proba d'avoir 0 abricot = (1998/1999)^100 (P2)

Tirer 100 fois avec remise, dans la dernière.
Proba d'avoir 0 abricot = (998/999)^100 (P3)

Proba d'avoir 0 abricot après les 400 tirages = P1 * P2 * P3

Proba d'avoir AU MOINS 1 abricot après les 400 tirages = 1 - (P1 * P2 * P3) = 0,156496108

Proba d'avoir exactement 1 abricot après les 400 tirages = (1 - P1) * P2P3 + (1 - P2) * P1P3 + (1-P3)P1P2 = 0,149175279

Mais les probas et moi on n'est pas très copains et donc tu as intérêt à vérifier.

Vu que @Black-Jack demande une vérification, je viens la faire.

Dans chacun des 3 cas , il faut modifier la probabilité d'avoir 0 abricot en tirant une fois dans la caisse concernée. (ce qui modifie bien sûr tous les résultats)

J'explicite (le plus simplement possible) le 1er cas ( la démarche est la même pour les deux autres cas)

On cherche d'abord la probabilité $q$ d'avoir 0 abricot en tirant une fois dans la caisse de 10000 éléments (9999 pommes et 1 abricot)

Nombre de cas possibles : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10000}{1}\right)$=10000 (on choisit 1 élément parmi les 10000 éléments)

Nombre de cas favorables : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9999}{1}\right)$=9999 (on choisit un élément parmi les 9999 pommes)

Donc : $q=\frac{9999}{10000}$

Conséquence : vu qu'il y a 200 tirages successifs avec remise (donc indépendants) :

La probabilité d'avoir 0 abricot (avec ces 200 tirages ) est :
$P_1=q^{200}=(\frac{9999}{10000}{)}^{200}$

Avec la même démarche pour le deuxième et troisième cas, on doit obtenir :
$P_2=(\frac{1999}{2000}{)}^{100}$

$P_3=(\frac{999}{1000}{)}^{100}$

Ensuite, il faut évidemment refaire tous les calculs avec ces nouvelles valeurs.

Remarque : cet exercice pourrait être traité avec les lois binomiales (qui sont sous entendues) , mais ce n'est pas indispensable.

Bons calculs .

[mtschoon]

Bonjour,

Maintenant que $P_1,P_2,P_3$ sont modifiées, je vérifie la fin de la démarche.

OK pour la probabilité d'avoir AU MOINS 1 abricot après 400 tirages (en remplaçant $P_1,P_2,P_3$ par les nouvelles valeurs).

Par contre, la formule pour obtenir EXACTEMENT 1 abricot après 400 tirages est à refaire à cause de $1-P_1,1-P_2,1-P_3$

Explication pour $1-P_1$
$P_1$ étant la probabilité d'avoir 0 abricot après 200 tirages dans la première caisse, $1-P_1$ est la probabilité d' avoir au moins 1 abricot après 200 tirages dans la première caisse.

A la place de $1-P_1$ il faut calculer la probabilité d'avoir exactement 1 abricot après 200 tirages dans la première caisse.
Pas de formule simple pour cela...
Après raisonnement, on trouve $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{200}{1}\right)$$\left(\frac{1}{10000}\right)(\frac{9999}{10000}{)}^{199}$
(à calculer)

Remarque : on peut trouver cette réponse avec la loi binomiale.
Il s'agit de 200 tirages répérés indépendants. $n=200$
A chaque tirage, la probabilité $p$ d'un succés (obtenir 1 abricot) est $p=\frac{1}{10000}$
Soit $X$ le nombre de succés (nombre d'abricots tirés après $n$ tirages)

$X$ suit la loi binomiale $B(n,p)$

$Pr(X=k)=$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$$p^k(1-p{)}^{n-k}$

En remplacant $n$et $p$ par leurs valeurs et en donnant à $k$ la valeur $1$, on obtient la formule donnée.
Bien sûr, en remplaçant $k$ par $0$, on retrouve la valeur de $P_1$

Même explication pour $1-P_2$ , qu'il faut remplacer par
$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{1}\right)$$\left(\frac{1}{2000}\right)(\frac{1999}{2000}{)}^{99}$

Même explication pour $1-P_3$ , qu'il faut remplacer par
$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{1}\right)$$\left(\frac{1}{1000}\right)(\frac{999}{1000}{)}^{99}$

Bonne réflexion et bons calculs.
J'espère que @nayfen passera par là pour consulter les modifications.

Bonne journée

[Sergio Hassan]

@nayfen Bonjour.
Selon moi, on ne peut pas faire la somme de ses 3 probabilité car il s'agit d'expériences différentes. Il faut les étudier cas par cas.

[mtschoon]

Bonjour,

Comme sur l'autre discusion , (https://forum.mathforu.com/topic/32925/détermination-du-domaine-de-définition), @Sergio-Hassan, ta remarque n'est guère pertinente...

Et ton lien (publicitaire) n'apporte rien à la question posée.

Relis l'énoncé avec rigueur.
Il ne s'agit pas d'expériences différentes mais d'une seule expérience qui consiste à faire 400 tirages dans 3 caisses différentes : 200 dans une, 100 dans une autre et encore 100 dans une autre.

Bonne lecture.