Exercice ordre et opération

Salut à vous tous j'ai beau eu à me creuser la tête pour démontrer cela mais aucune piste j'ai vraiment essayé tout ce que j'avais comme connaissances mais rien, qlq'un peut-il me sortir de cette impasse j'en serais vraiment reconnaissant.
Démontrer que 0<√(a+b)-√a < (b√a) /2a

@Esp-8266 , bonsoir,

Tu n'indiques rien sur a et b...

Je supposes que a et b sont strictement positifs

$a+b>aa+b\gt a$ donc $a+b>a\sqrt{a+b}\gt \sqrt a$
donc $a+b−a>0\sqrt{a+b}- \sqrt a\gt 0$

Reste à prouver que $a+b−a>ba2a\sqrt{a+b}- \sqrt a \gt \dfrac{b\sqrt a}{2a}$

Je te suggère de transformer $a+b−a\sqrt{a+b}- \sqrt a$ en multipliant et en divisant par le conjugué, c'est à dire $a+b+a\sqrt{a+b}+ \sqrt a$ (c'est une méthode classique)
$a+b−a=(a+b−a)(a+b+a)a+b+a\sqrt{a+b}- \sqrt a =\dfrac{(\sqrt{a+b}- \sqrt a )(\sqrt{a+b}+ \sqrt a)}{\sqrt{a+b}+\sqrt a}$
Au numérateur, tu reconnais une identité remarquable (c'est le but)
$a+b−a=(a+b)2−(a)2a+b+a\sqrt{a+b}- \sqrt a =\dfrac{(\sqrt{a+b})^2- (\sqrt a)^2}{\sqrt{a+b}+\sqrt a}$
$a+b−a=(a+b)−aa+b+a\sqrt{a+b}- \sqrt a =\dfrac{(a+b)- a}{\sqrt{a+b}+\sqrt a}$
$a+b−a=ba+b+a\sqrt{a+b}- \sqrt a =\dfrac{b}{\sqrt{a+b}+\sqrt a}$

Or, $a+b>aa+b\gt a$ donc $a+b+a>2a\sqrt{a+b}+\sqrt a\gt 2\sqrt a$

D'où $a+b−a<b2a\sqrt{a+b}- \sqrt a \lt \dfrac{b}{2 \sqrt a}$

Il te reste à transformrr $b2a\dfrac{b}{2 \sqrt a}$ en multipliant numérateur et dénominateur par $a\sqrt a$ pour obtenir le résultat cherché.

Revois tout ça de près et refait l'exercice seul pour être sûr de le maîtriser.

@mtschoon
Oh merci infiniment, oui ils sont effectivement positifs, je viens de voir la réponse car je m'attendais à la recevoir dans ma boîte gmail

@Esp-8266 , bonjour,

De rien !

J'espère que tu as bien compris.

Ici, tout ce passe sur le forum pour que tout intéressé puisse consulter et profiter des topics pour progresser.

@mtschoon oui merci j'ai bien aimé le fait de voir des personnes qui s'entraident sans s'attendre à qlq chose en retour, ça pousse les autres à envisager de faire de même par la suite.

Merci @Esp-8266 pour ton bon état d'esprit et peut-être à une autre fois si tu as besoin.