Prouver somme des termes d'une suite arithmétiques par récurrence

Bonjour,

Je comprends plutôt bien la récurrence mais je bloque sur cette exercice:
u(n) une suite arithmétique. Prouver par récurrence que u(0) + u(1) + ... + u(n) = (n+1)*((u(0) + u(n))/2)

On doit impérativement prouver par la deuxième partie de l'égalité sans passer par la première ( donc partir de (k+1)((u(0) + u(k))/2) + u(k+1) pour arriver vers (k+2)((u(0) + u(k+1))/2) ) sauf que j'ai tout essayé mais je n'y suis pas arrivé. J'aurais donc besoin d'aide

@lala-Ball , bonsoir,

Je ne détaille pas tout ( heure trop tardive !)

Une piste qui doit pouvoir débloquer ta démonstration, pour trouver une relation entre U(k) et U(k+1)
Tu peux prouver que (k+1)U(k) =kU(k+1)+U(0)

Demonstration de cette relation.
Soit r la raison de la suite
U(k)=U(0)+kr
U(k+1)=U(0)+(k+1)r
donc
kU(k+1)=kU(0)+k(k+1)r
kU(k+1)+U(0)=(k+1)U(0)+k(k+1)r
kU(k+1)+U(0)=(k+1)[U(0)+kr]
d'où
kU(k+1)+U(0)=(k+1)U(k)
CQFD

Bon courage et bonne nuit.

merci beaucoup !

J'ai passé environ une heure à chercher les solutions grâce à la relation que vous m'avez fourni, mais je reste bloqué sur deux passages:

Comment mettre en facteur u(k) et (k+1) dans (k+1)*((u(0)+u(k))/2) et ensuite si je réussi ce point comment se débarrasser du facteur k de U(k+1).

Bonne nuit ou bonne journée à vous et merci d'avance

@lala-Ball , je t'explicite un peu le calcul.
J'utilise des indices au lieu des parenthèses car je trouve cela plus clair.

Hier soir, je t'ai démontré que $(k+1)Uk=kUk+1+U0\boxed{(k+1)U_k=kU_{k+1}+U_0}$

Ainsi, tu dois pouvoir faire la démonstration.

Pistes ,

$U_0+...+U_{k+1}=[U_0+...+U_k]+U_{k+1}$

$U0+...+Uk+1=(k+1)[U0+Uk2]+Uk+1U_0+...+U_{k+1}=(k+1)\biggr[\dfrac{U_0+U_k}{2}\biggr]+U_{k+1}$

$U0+...+Uk+1=(k+1)U02+(k+1)Uk2+Uk+1U_0+...+U_{k+1}=(k+1)\dfrac{U_0}{2}+\dfrac{(k+1)U_k}{2}+U_{k+1}$

Utilise la propriété que je t'ai démontrée (encadrée) :

$U0+...+Uk+1=(k+1)U02+kUk+1+U02+Uk+1U_0+...+U_{k+1}=(k+1)\dfrac{U_0}{2}+\dfrac{kU_{k+1}+U_0}{2}+U_{k+1}$

Je te laisse terminer.
En regroupant correctement les termes, tu dois trouver
$U0+...+Uk+1=(k+2)[U0+Uk+12]U_0+...+U_{k+1}=(k+2)\biggr[\dfrac{U_0+U_{k+1}}{2}\biggr]$

Reposte si tu n'arrives pas à terminer.

Bon travail.