Exercice pgcd et ppcm

[Just me 0]

Bonjour ce,a fait deux jours que j'essaye de trouver une solution à ce problème mias en vain, voici la question:
Soit x un entier naturel tel que
x-2 est divisible par 3 et x-3 est divisible par 5 et x-5 est divisible par 7
Montrer que x-68 est divisible par 3×5×7
Et merci

[mtschoon]

@Just-me-0 , bonsoir,

Une piste possible,

$x-2=3k$, $k$ entier
$x-3=5k^{\prime }$, $k^{\prime }$ entier
$x-5=7k^{\prime \prime }$, $k^{\prime \prime }$entier

donc :
$x=3k+2$,
$x=5k^{\prime }+3$,
$x=7k^{\prime \prime }+5$

donc
$x-68=3k+2-68=3k-66=3(k-22)$ : x est divisible par 3
$x-68=5k^{\prime }+3-68=5k^{\prime }-65=5(k^{\prime }-13)$ : x est divisible par 5
$x-68=7k^{\prime \prime }+5-68=7k^{\prime \prime }-63=7(k^{\prime \prime }-9)$ : x est divisible par 7

Lorsqu'un nombre est divisible séparément par plusieurs nombres premiers entre eux deux à deux, il est divisible par leur produit.

Tu tires la conclusion.

[Just me 0]

@mtschoon j'etais déjà arrivé à ce resultat mais je ne conaissais pas cette propriété merci pour votre effort

[mtschoon]

De rien @Just-me-0 .

Si la propriété utilisée pour conclure n'est pas dans ton cours, tu peux l'expliquer en regardant ici :
(paragraphe 110 IV)
https://bibli.ec-lyon.fr/exl-doc/patrimoine/11171V01/PDF/FA11171V01_ING00068.pdf