Factoriser pour démontrer qu'une expression est divisible par un terme

[cedr17]

voici l'enoncé.
soit p(x) = $x^4$ + $7x^3$ + 8x² - 28x - 48
démontrer que p(x) est divisible par (x²+2x-8)

j'ai essaye de factoriser avec les racines evidentes mais ça donne rien.

pouvez vous me tuyauter?
en attendant je vais essayer d'autres trucs.
merci

Zorro : j'ai mis les fins d'exposants qui manquaient

[philplot]

Bonsoir,
ça devrait pouvoir t'aider:
$x^4$ + 8 x^2 - 48 = -7x (x^2 - 4) ¦désolé, signe corr.
$x^4$ + 8 x^2 + 16 - 64 = -7x (x^2 - 4)
Bonne chance.

[Zorro]

bonsoir

il faut trouver les coefficients de Q(x) polynome du 2ème degré tel que

P(x) = (x² + 2x - Q(x)

P(x) du 4ème degré
(x²+2x-8) du 2ème degré
donc Q(x) du second degré

Autre solution faire la division euclidiènne de P(x) par (x²+2x-8)

philpiot, pour moi -7x (x^2 - 4) = -7x^3 + 28x et non x^4 + 8x^2 - 48 !?!?

[philplot]

[quote=Zorro]bonsoir

philpiot, pour moi -7x (x^2 - 4) = -7x^3 + 28x et non x^4 + 8x^2 - 48 !?!?

Bonjour Zorro,

On cherche d'abord les racines de P(x); pour ce faire, on écrit P(x) = 0 et l'on résout l'équation. Pour se faciliter la tâche, on passe les termes de degré impair d'un côté et l'on garde les termes de degré pair de l'autre. On obtient effectivement:
$x^4$+ 8x^2 - 48 = - 7x^3 + 28 x ¦ (-7x) en évidence à droite
et l'on note que (on se fait un petit carré parfait, comme un caprice...)
$x^4$+ 8x^2 - 48 = $x^4$ + 8x^2 + 16 - 64
on note aussi que
x ${}^4$ + 8x^2 + 16 = (x^2 + 4)^2 et que - 64 = - 8^2
On obtient la différence de 2 carrés qu'on peut développer:
x ${}^4$ + 8x^2 + 16 - 64 = (x^2 + 4 - 8)(x^2 + 4 + = (x^2 - 4)(x^2 + 12) ¦ (x^2 - 4) nous intéresse car on a ainsi:
(x^2 - 4)(x^2 + 12) = - 7x (x^2 - 4) ¦ en repassant l'expression de droite à gauche
(x^2 - 4)(x^2 + 7x +12) = 0
on vérifie que (x^2 + 7x +12) = (x + 3)(x + 4)
et l'on note
P(x)= (x - 2)(x + 2)(x + 3)(x + 4) ou, en groupant différemment:
P(x) = (x - 2)(x + 4)(x + 2)(x + 3)
P(x) = (x^2 + 2x - 8)(x^2 + 5x + 6)
Q(x) = (x^2 + 5x + 6)
Les racines de P(x) sont:
x'= -4; x''= -3; x'''= -2; x''''= +2

C'était là, je crois, tout ce que vous aviez à démontrer.
Bonne journée.

[Zorro]

Oui mais cette méthode n'est pas au programme de ter S

Il est préférable de passer par

P(x) = (x^2 + 2x - (ax^2 + bx + c)

développer et identifier les coefficients de $x^4$ puis de $x^3$ puis de $x^2$ puis de x puis la constante à ceux de f(x) et on trouve ce qu'on cherche.

Donc on peut déduire les racines de (ax^2 + bx + c) et de (x^2 + 2x - donc de P(x)

[philplot]

Bonjour Zorro,

Je suis désolé d'avoir présenté une méthode non agréée: je répondais à ton "!?!?"
-7x (x - 4) égale x^4 + 8x - 48 pour quatre points seulement dont les abcisses sont les solutions de P(x)
Il est clair que la division euclidienne est bien la méthode la plus rapide.
Bonne soirée.