raisonner, démontrer, nombre complexe i


  • Livindiam Livin

    Bonjour

    J'ai besoin d'aide pour résoudre cette exercice :

    existe-t-il un nombre réel a tel que

    (a^2 + a - 1) +ai = 1- i

    Par où commencer ?

    Je n'arrive pas trop avec la méthode A - B = 0 ...

    Merci pour toutes pistes


  • mtschoon

    @Livindiam-Livin , bonjour,

    Vu que aaa est réel, a2+a−1a^2+a-1a2+a1 est la partie réelle du membre de gauche et a est sa partie imaginaire

    Tu identifies les parties réelles des deux membres ansi que les parties imaginaires.

    {a2+a−1=1a=−1\begin{cases}a^2+a-1=1\cr a=-1\end{cases}{a2+a1=1a=1

    Tu résous et tu tires la conclusion.


  • Livindiam Livin

    @mtschoon
    Alors on change la valeur de a -1 dans le membre a^2 + a - 1 et on trouve -1

    Mais ca ne marche pas car dans l'énoncé on nous dit que la partie imaginaire de a^2 + a - 1 est 1

    Donc il n'existe pas de réel a tel que l'énoncé nous demande

    En bref pour ce type d'exercice il faut déterminer la valeur de a puis remplacer dans l'autre membre pour voir si on trouve la même partie imaginaire que l'énoncé ?

    Merci


  • mtschoon

    @Livindiam-Livin , bonjour,

    Ta démarche est bonne.

    Pour plus de clarté, je t'explicite la méthode.

    Principe à utiliser :

    Egalité de 2 nombres complexes mis sous forma algébrique : A+Bi=A′+B′iA+Bi=A'+B'iA+Bi=A+Bi
    A,B,A′,B′A,B,A',B'A,B,A,B sont des nombres réels
    AAA et A′A'A sont les parties réelles, BBB et B′B'B (coefficients de i) sont les parties imaginaires.

    Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales entres elles et les parties imaginaires égales entre elles.

    c'est à dire :
    A+Bi=A′+B′i\boxed{A+Bi=A'+B'i}A+Bi=A+Bi <=> {A=AB=B′\boxed{\begin{cases}A=A\cr B=B'\end{cases}}{A=AB=B

    Application à l'exercice

    (a2+a−1)+ai=1−i(a^2 + a - 1) +ai = 1- i(a2+a1)+ai=1i

    En explicitant clairement le membre de droite :
    (a2+a−1)+ai=1+(−1)i\boxed{(a^2 + a - 1) +ai = 1+(-1)i}(a2+a1)+ai=1+(1)i

    aaa étant réel, a2+a−1a^2+a-1a2+a1 est réelIe (c'esr la partie réelle du nombre complexe de gauche :
    A=a2+a−1A=a^2+a-1A=a2+a1
    La partie imaginaire du nombre complexe de gauche est B=aB=aB=a
    La partie réelle du nombre complexe de droite est 1 :
    A′=1A'=1A=1
    La partie imaginaire du nombre complexe de droite est -1 :
    B′=−1B'=-1B=1

    Eb appliquant le principe indiqué, tu obtient le système :
    {a2+a−1=1a=−1\boxed{\begin{cases}a^2+a-1=1\cr a=-1\end{cases}}{a2+a1=1a=1

    La seconde égalité est : a=−1a=-1a=1

    Pour a=−1a=-1a=1, la première égalité devient :
    1−1−1=?11-1-1=? 1111=?1 <=> −1=?1-1=?11=?1
    C'est faux .
    Conclusion : il n'existe pas de nombre réel aaa satifaisant l'égalité de départ.

    Je pense que c'est ce que tu avais compris.

    Bon travail.


  • Livindiam Livin

    @mtschoon Merci pour les explications détaillées !


  • mtschoon

    De rien @Livindiam-Livin .
    C'est parfait si tout est clair pour toi.


  • Livindiam Livin

    @mtschoon Bonjour j'aimerai revenir sur cette exercie

    On trouve si a = -1 dans la première équation le résultat 1 mais pourquoi cela ne fonctionne pas ? Est ce que parce sinon on a dans un cas pour l'équation numéro 1 a = -1 et pour la deuxième a = 1 ?

    Merci


  • mtschoon

    @Livindiam-Livin , bonjour,

    Pour a=−1a=-1a=1 la première équation devient, en remplaçant aaa par −1-11 :
    (−1)2+(−1)−1=1(-1)^2+(-1)-1=1(1)2+(1)1=1 <=> 1−1−1=11-1-1=1111=1 <=>−1=1\boxed{-1=1}1=1 : faux


  • Livindiam Livin

    @mtschoon donc pour la première a = 1 et la deuxième a = -1 c'est pour cela que ca ne fonctionne pas


  • mtschoon

    @Livindiam-Livin ,

    Pour la seconde équation, la seule solution est a=−1a=-1a=1 mais cette valeur a=-1 ne convient pas à la première donc système impossible (il n'y a pas de valeur de aaa qui convienne aux deux équations)


  • Livindiam Livin

    @mtschoon Merci !


  • B

    @Livindiam-Livin a dit dans raisonner, démontrer, nombre complexe i :

    @mtschoon donc pour la première a = 1 et la deuxième a = -1 c'est pour cela que ca ne fonctionne pas

    Bonjour,

    @mtschoon t'a expliqué comment on peut montrer qu'il n'y avait pas de solution.

    Mais si tu continues avec ton " donc pour la première a = 1 et la deuxième a = -1 c'est pour cela que ca ne fonctionne pas" et que tu écris cela sur ta copie, le prof sera contraint de te sanctionner car ce que tu dis n'est pas correct.

    Si tu veux vraiment (bien que cela n'est pas utile) chercher les solutions de la 1ère équation, soit donc de : a² + a - 1 = 1, alors penser que a = 1 est LA solution est une erreur.
    En effet, a = 1 est bien une solution de cette équation, mais a = -2 en est une autre.

    Donc, la première équation imposerait soit a = 1, soit a = -2 comme solution.
    alors que la deuxième équation donne immédiatement a = -1 comme unique solution.

    Les 2 équations DOIVENT être satisfaites pour qu'il y ait une (ou des) solution(s) au système, comme il n'y a pas de solution commune aux 2 équations, le système n'a pas de solution.

    On arrive évidemment au même résultat (pas de solution) que par la simple vérification proposée par mtschoon ... le mieux est donc de choisir cette méthode, qui, ici est la plus rapide.


  • Livindiam Livin

    @Black-Jack Merci pour ces explications