SUITES et factorielle

[LUDIVINE YALA]

Bonsoir ! J'ai un exercice à faire sur les suites et je ne sais pas du tout par où commencer :

"Pour tout entier N on note P(n) la proposition 2^n <= n!"

1. on a montrer que P0 est vrai ainsi que P5 mais que P1 est fausse
   C'est la deuxième question où je bloqué
   "2) conjecturer le plus petit entier n(indice 0) tel que pour tout entier n supérieur ou égal à n(indice 0) , ont ait P(n) vraie et démonter cette conjecture "
   J'aimerais utiliser un raisonnement par récurrence
   Si quelqu'un pourrait m'eclairer avec la méthode à suivre cela m'aiderai beaucoup
   Merci d'avance et bonne soirée

[mtschoon]

@LUDIVINE-YALA , bonjour ,

Tu peux tester l'inégalité pour n=0,1,2,3,4,5,6,...
Tu dois conjecturer qu'elle est vraie pour tout $n\ge 4$

Pour la récurrence,

Initialisation pour $n=4$
$2^4=16$
$4!=24$
donc inégalité vraie pour $n=4$

Hérédité
Hypothèse à un ordre $n$, $n\ge 4$ : $2^n\le n!$
Conclusion à démontrer à l'ordre $(n+1)$ : $2^{n+1}\le (n+1)!$

Piste pour la démonstration :

$2^n\le n!$ donc , en multipliant par 2 : $2^{n+1}\le n!\times 2$

Tu sais que $4\le n$ donc :
$5\le n+1$ or $2\le 5$ donc $2\le n+1$

Je te laisse terminer la démonstration.

Reposte si besoin.