Calcul matriciel X^2=M avec 8 solutions
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Tthomas_ltssr dernière édition par
Bonjour à tous,
A la fin d'un exercice je dois montrer qu'il existe exactement 8 matrices X de E telles que X2=MX^2=MX2=M. MMM étant inversible.
On a E = {M(a,b,c)M(a,b,c)M(a,b,c), (a,b,c)(a,b,c)(a,b,c) ∈\in∈ C3\mathbb{C}^3C3}
et MMM=(a−cb−ba−cc−ba)\left(\begin{aligned}a \quad-c \quad b\cr -b \quad a \quad-c \cr c \quad -b \quad a \end{aligned}\right)⎝⎜⎜⎛a−cb−ba−cc−ba⎠⎟⎟⎞.
J'en suis donc a résoudre le système
a2+2ab=aa^2 + 2ab=aa2+2ab=a
b2+2ac=cb^2+ 2ac=cb2+2ac=c
c2+2ab=bc^2+2ab=bc2+2ab=bj'ai donc obtenu :
c=(a−a2)2b,b≠0c=\frac{(a-a^2)}{2b} , b\neq0c=2b(a−a2),b=0
a=(c−b2)2c,c≠0a=\frac{(c-b^2)}{2c} , c\neq0a=2c(c−b2),c=0
c2+2ab−b=0c^2+2ab-b=0c2+2ab−b=0
d'où 18(−a6+3a5−3a4+3a3)=b6\frac{1}{8}(-a^6 +3a^5-3a^4+3a^3)=b^681(−a6+3a5−3a4+3a3)=b6
Mais maintenant je bloque, je suis incapable de résoudre ce système autrement que via WolframAlpha, cet exercice étant normalement à résoudre à la main.
Est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer la méthode pour résoudre un tel système où peut être y'a t-il une autre façon de faire.
Merci d'avance.