Besoin d'aide sur pour un exercice d'algèbre

Bonsoir, svp un coup de main, je ne sais pas trop comment démarrer.

Soit n appartenant à N*
Soit X1<X2<...<Xn
Soit (Y1,Y2,...,Yn) appartenant à lR^n.
Montrer qu'il existe un unique Q appartenant à R_{n-1}[X]
telque Q(X1)=Y1, Q(X2)=Y2....Q(Xn)=Yn

@Wil-Fried Bonsoir,

L'énoncé est complet ? pas de question ?

@Noemi J'ai mis tout l'énoncé mais ça s'affiche ainsi je ne comprend pas pourquoi.

@Wil-Fried

C'est bon, j'ai rectifié l'énoncé.

@Noemi Merci bien!
C'est effectivement ça l'énoncé que j'avais écris

@Noemi Je ne sais pas comment résoudre

Bonsoir,
Il faut résoudre l'exercice en deux parties,

1.)Unicité
Tu prends deux polynômes qui vérifient les conditions et tu montres qu'ils sont égaux

2.)Existence
Il faut trouver un polynôme qui marche

Connais-tu les polynômes de Lagrange ?

@draxio Bonsoir, non je ne connais pas le polynôme de Lagrange.
Et j'ai du mal avec les deux questions.

Ok, commençons donc d'abord avec l'unicité tes deux polynômes prennent les mêmes valeurs (Y1,...,Yn) sur n points (X1,...,Xn)
Que peux-tu faire en les combinant ?

@draxio En combinant les deux polynômes ?

@Wil-Fried , dans des exercices de polynôme le plus important est de faire intervenir les zéros i.e les x tels que P(X)=0, c'est se qui caractérise le polynôme le but est d'avoir un polynôme dont tu connais les zéros avec tes deux autres polynômes

@draxio Comment je fais ça ?

Tu considères le polynôme P1-P2
Après d'un théorème qui dit:
Un polynôme d'ordre n-1 admet au plus n-1 zéros sauf polynome nulle
Ce qui permet de conclure

@draxio Franchement je ne capte pas!

@Wil-Fried
On prend deux polynômes P1 et P2 qui vérifient les conditions i.e:
P1(X1)=Y1 ,..., P1(Xn)=Yn
P2(X1)=Y1, ... , P2(Xn)=Yn
On pose P= P1 - P2
On a P(X1)=?, ..., P(Xn)=?
Après théorème énoncé ci-dessus permet de conclure

@draxio Merci j'ai compris l'unicité.
Allons à l'existence

@Wil-Fried
Pour l'existence, il faut connaître le polynôme de Lagrange sont principe est de s'annuler pour tous les zéros sauf un où il est égal à 1(ici $x_j$ )
$L_j$ (x)= $∏i=1,idifferentdejn\displaystyle\prod_{i=1,i different de j}^{n}$ (x- $x_i$ )/( $x_j$ - $x_i$ )
On a : $L_j$ ( $x_j$ )=1 et ,
$L_j$ ( $x_k$ )=0 (où $x_k$ est un zéro autre que $x_j$ )
Donc si tu prends le polynôme Qj= $y_j$ * $L_j$
Qj(Xj)=? Et pour tout $\neq j$ Qj( $x_i$ )=?

@draxio Là franchement je ne capte pas vraiment

@Wil-Fried
En vrai, c'est pas évident la première fois que tu le vois,
Il faut retenir $L_j$ ( $x_j$ )=1 et $L_j$ ( $x_k$ )=0 si k different de j ,
On pose $Q_j$ (x)= Yj * $L_j$
ainsi $Q_j$ ( $x_j$ ) = Yj * $L_j$ ( $x_j$ )= Yj*1=Yj
Et $Q_j$ ( $x_k$ )=0
Apres tu veux polynôme qui associe Q( $x_i$ )=Yi pour tout i de 1 à n

@draxio Avez-vous un tutoriel là dessus ? Si oui j'aimerais bien avoir le lien afin de mieux comprendre.

@Wil-Fried

Tu peux essayer de voir la vidéo de ce site:

https://progresser-en-maths.com/exercice-corrige-polynomes-de-lagrange/

Bonne chance pour la suite.

Bonjour,

@Wil-Fried , @draxio t'a bien aidé.

Si tu souhaites un cours assez simple, je te mets un lien.
Regarde en particulier l'introduction aux Polynômes d’interpolation de Lagrange et le paragraphe 1.1 relatif aux systèmes linéaires.
https://perso.limsi.fr/wietze/cours/MN/MN_chap1.pdf

Eventuellement, tu peux répondre à ta question par un système linéaire, si tu le souhaites.

$R^{n-1}(X)$ est l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $n - 1$

$Q(X)=a_0+a_1X+...+a_{n-1}X^{-1}$

${Q(X1)=Y1Q(X2)=Y2......Q(Xn)=Yn\begin{cases}Q(X_1)=Y_1\cr Q(X_2)=Y_2\cr...\cr...\cr Q(X_n)=Y_n\end{cases}$

C'est à dire :
${a0+a1X1+...+an−1(X1)n−1=Y1a0+a1X2+...+an−1(X2)n−1=Y1......a0+a1Xn+...+an−1(Xn)n−1=Y1\begin{cases}a_0+a_1X_1+...+a_{n-1}(X_1)^{n-1}=Y_1\cr a_0+a_1X_2+...+a_{n-1(}X_2)^{n-1}=Y_1\cr...\cr...\cr a_0+a_1X_n+...+a_{n-1}(X_n)^{n-1}=Y_1\end{cases}$

Tu as un système linéaire de n équations à n inconnues $a_0,a_1,...,a_{n-1}$

Soit $D$ le déterminant principal de ce système :

$D =$ $(Xn)n−1∣\begin{vmatrix} 1\ X_1\ ...\ (X_1)^{n-1} \cr 1\ X_2\ ...\ (X_2)^{n-1}\cr... \cr...\cr1 \ X_n\ ...\ (X_n)^{n-1} \end{vmatrix}$

Vu que $X1<X2<...<XnX_1\lt X_2\lt...\lt X_n$ , c'est valeurs sont distinctes donc $D≠0\boxed{D\ne 0}$

Vu que $D≠0D\ne 0$ , s'agit d'un système de Cramer

Il admet donc une suite unique de solutions $a_0,a_1,...,a_{n-1}$

D'où l'existence et l'unicité de $Q (X)$

Tu as le choix de l'explication.

@Wil-Fried , si besoin, un lien vers système de Cramer.

https://uel.unisciel.fr/mathematiques/determinant1/determinant1_ch02/co/apprendre_ch2_03.html

@mtschoon Bonsoir, merci beaucoup

@Wil-Fried , bonjour,

De rien et j'espère que toutes ces explications te conviennent.

Bon week-end.