suites de nombre complexes
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Livindiam Livin dernière édition par
Bonjour,
Je bloque sur un exercice , avez-vous des pistes à me proposer ?
On a (Zn) une suite de nombres complexes définis par
z(0) = 3 + i
z(1) = 1 + 2i
z(n+2 )= 2(zn+1) x cos(théta) -z(n)On a pour la question 1 théta = 0
Je dois montrer que z(n) est arithmétique
J'ai isolé z(n) mais rien de concluant de forme z(n) = z(0) + nr
Merci pour toute aide
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mtschoon dernière édition par
@Livindiam-Livin , bonjour,
Donne l'énoncé relatif à cette question 1) pour pouvoir comprendre de quoi il s'agit.
Si la réponde θ=0\theta=0θ=0 s'applique à tout l'exercice, d'où cosθ=cos0=1cos\theta=cos 0=1cosθ=cos0=1 , c'est simple.
zn+2=2zn+1−znz_{n+2}=2z_{n+1}-z_nzn+2=2zn+1−zn c'est à dire :
zn+2−zn+1=zn+1−znz_{n+2}-z_{n+1}=z_{n+1}-z_nzn+2−zn+1=zn+1−zn pour tout n, d'où
zn+1−zn=...=...=z1−z0z_{n+1}-z_n=...=...=z_1-z_0zn+1−zn=...=...=z1−z0
Suite arithmétique de raison r=z1−z0r=z_1-z_0r=z1−z0 ( à calculer)
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Livindiam Livin dernière édition par
z(n+1 )- z(n) = z(n+2 )- z(n+ 1 )et on change avec l'écriture de z(n+2 )
= 2z(n+1)-z(n) - z(n+1) puis on peux factoriser z(n+1)Comment arrive-t-on a z(0) et z( 1) ?
je continue à chercher
Merci pour l'aide
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mtschoon dernière édition par
@Livindiam-Livin , je ne comprends pas trop ce que tu veux dire...
Je détaille ce que je t'ai indiqué.
zn+2=2zn+1−znz_{n+2}=2z_{n+1}-z_nzn+2=2zn+1−zn
c'est à dire
zn+2=zn+1+zn+1−znz_{n+2}=z_{n+1}+z_{n+1}-z_nzn+2=zn+1+zn+1−znTu transposes un zn+1z_{n+1}zn+1 du membre de droite dans le membre de gauche :
zn+2−zn+1=zn+1−zn\boxed{z_{n+2}-z_{n+1}=z_{n+1}-z_n}zn+2−zn+1=zn+1−zn
Cette égalité étant vraie pour tout nnn, cela veut dire que la différence entre deux termes consécutives est constante.Si tu veux détailler, tu peux écrire:
zn+1−zn=zn−zn−1z_{n+1}-z_{n}=z_{n}-z_{n-1}zn+1−zn=zn−zn−1
zn−zn−1=zn−1−zn−2z_{n}-z_{n-1}=z_{n-1}-z_{n-2}zn−zn−1=zn−1−zn−2
zn−1−zn−2=zn−2−zn−3z_{n-1}-z_{n-2}=z_{n-2}-z_{n-3}zn−1−zn−2=zn−2−zn−3
etc
etc
z3−z2=z2−z1z_{3}-z_{2}=z_{2}-z_{1}z3−z2=z2−z1
z2−z1=z1−z0z_{2}-z_{1}=z_{1}-z_{0}z2−z1=z1−z0
Conclusion (par transitivité de la relation d'égalité)
zn+1−zn=z1−z0=3+i−1−2i=2−iz_{n+1}-z_{n}=z_1-z_0=3+i-1-2i=2-izn+1−zn=z1−z0=3+i−1−2i=2−i
Donc :
zn+1=zn+2−i\boxed{z_{n+1}=z_{n}+2-i}zn+1=zn+2−i
Par définition d'une suite arithmétique, (zn)(z_n)(zn) est arithmétique de raison 2−i2-i2−i
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Livindiam Livin dernière édition par
@mtschoon D'accord j'ai compris , c'était donc pour montrer que ca fonctionne pour tout n
Merci !
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mtschoon dernière édition par
Parfait @Livindiam-Livin si tu as compris.
Tu peux déduire que pour tout n de NNN, zn=z0+nrz_n=z_0+nrzn=z0+nr , c'est à dire zn=3+i+n(2−i)z_n=3+i+n(2-i)zn=3+i+n(2−i)
Bon travail.