exercice nombre complexes

Bonsoir,

Le début d'exercice suivant me pose problème

(on a z différend de 0)

Z = 1/2(z + 1/z')

Je dois montrer qu'il existe deux nombres complexes tel que Z = z

J'ai commencé par dire que si Z = z, alors Re(Z)= Re(z) et Im(Z)=Im(z)

Ensuite j'ai isolé z pour voir si cela mène à qqchose... en vain

Merci pour toutes aides

Bonsoir @Livindiam-Livin ,

Est-ce que z' est bien z ?

L'idée est bonne , tu peux poser Z=z=a+ib (a $≠\neq$ 0 ou b $≠\neq$ 0)
Et tu peux mettre tout les termes dans le même membre (...)=0
Tu identifies partie réelle et imaginaire des deux membres pour obtenir un système à deux equations la résolution te donne des solutions possibles,
tu les réinjectent dans l'équation 1/2(z+1/z) = Z et deux d'entre eux devraient marcher

@draxio Bonsoir z et z' sont différend dans l'exercice

merci pour la piste je vais faire tout ca !

@Livindiam-Livin ,
Si z et z' diffère cela ne marche pas quand tu dis que tu cherche deux complexe est-ce un couple (z,z') ou un z fixé et deux solutions z'

Je pense la meilleure méthode serait de passer à la forme exponentielle du complexe si tu l'as déjà vu
Après globalement si tu remplace Z par z t obtient z=1/z'

Bonsoir,

Je reste perplexe sur cet énoncé...

Je me demande s'il n'y a pas une faute et si l'énoncé n'est pas :
$Z=12(z+1z)Z=\dfrac{1}{2}(z+\dfrac{1}{z})$

Je trouverais ça mieux...

@Livindiam-Livin , ça vaudrait peut-être la peine de t'assurer que l'énoncé que tu donnes est exact.

@mtschoon Bonjour

Dans le livre deux z différend sont utilisé... Ils sont tous les deux petits mais l'écriture diffère légèrement c'est pour cela que j'ai noté z'.

Je me trompe peut-être

Je vais faire l'exercice avec z sans z'.

@Livindiam-Livin , bonjour,
Effectivement, je pense qu'il y a une faute d'impression dans ton manuel.
Si c'est possible, le mieux est de le demander à ton professeur.

En utilisant $Z=12(z+1z)Z=\dfrac{1}{2}(z+\dfrac{1}{z})$

Pour $z≠0z\ne 0$ , tu dois résoudre $z=12(z+1z)z=\dfrac{1}{2}(z+\dfrac{1}{z})$

En transformant

$z=z2+12zz=\dfrac{z^2+1}{2z}$

En terminant la résolution (produits en croix, transposition), tu dois trouver $z^2=1$ c'est à dire
$z = 1$ ou $z = - 1$

Bon calcul.
Reposte si besoin.

@mtschoon Merci

@Livindiam-Livin de rien et bon travail avec les complexes

@mtschoon Bonsoir je bloque pour trouver z^2 = 1 : je suis à 3z = z^2 + 1 mais je ne vois pas la suite, qu'est ce qu'une transposition ? Merci

@Livindiam-Livin , bonsoir

Je ne vois pas comment tu trouves $3z=z^2+1$

Je reprends le calcul (avec $z≠0)z\ne 0)$

$z=12(z+1z)z=\dfrac{1}{2}(z+\dfrac{1}{z})$

$z=12(z2+1z)z=\dfrac{1}{2}(\dfrac{z^2+1}{z})$

$z=z2+12zz=\dfrac{z^2+1}{2z}$ c'est à dire $z1=z2+12z\dfrac{z}{1}=\dfrac{z^2+1}{2z}$

Produits en croix (c'est peut-être là que tu as fait une erreur) :

$z×2z=1×(z2+1)z\times 2z=1\times (z^2+1)$

Si tu préfères, tu peux multiplier chaque membre de $z=z2+12zz=\dfrac{z^2+1}{2z}$ par $2 z$ et ensuite simplier le membre de droite par $2 z$

donc :

$2z^2=z^2+1$

En transposant : $2z^2-z^2=1$

conclusion : $z^2=1$

Finalement $z = 1$ ou $z = - 1$

@mtschoon Merci

De rien @Livindiam-Livin .
J'espère que c'est clair pour toi maintenant.