Exercice arithmétique

Bonjour s'il vous plaît je suis coincé à la dernière question de cet exercice
On considère l'équation:36x+25y= 5 pour x et y entiers relatifs.

Montrer que pour toute solution (x, y), x est multiple de 5.
Déterminer une solution particulière de l'équation, puis la résoudre.
Soit d le plus grand commun diviseur de x et y lorsque (x, y) est solution de l'équation.
a. Quelles sont les valeurs possibles de d?
b. Quelles sont les solutions pour lesquelles x et y sont premiers entre eux ?

Voici mes réponses

36x=5(5y + 1), 5 divise 36x et 5 est premier avec 36 donc 5 divise x.
Une solution particulière de l'équation est x = 5 et y = 7. L'équation est équivalente à: 36(x-5)=25(y-7). Or 25 divise 36(x-5), est premier avec 36 donc, d'après le théorème de Gauss, divise x-5; de même 36 divise y-7. Il existe donc k € Z² tel que x = 25k +5 et y = 36k + 7 d'où la solution générale : x = 25k +5; y= 36k+7, k€z.
a. d divisant .x et y divise donc 5. Donc d € {1; 5}.
b. ???

Bonsoir,

Tenant compte de ta première réponse je dirais que l'équation était plûtot 36x - 25y = 5.

Cela dit, voyons voir ta question.

On te demande les solutions pour lesquelles x et y sont premiers entre eux :

Rappel, deux nombres sont premiers entre eux s'ils n'admettent aucun diviseur commun, mise à part 1 ou -1.

On a x = 5(5k+1), donc un produit de deux nombres premiers entre eux, on a aussi y = 36k +7 = 7(5k+1) +k.

On sait que 5k+1 et k sont premiers entre eux, on a alors logiquement y et 5k+1 sont tout aussi premiers entre eux.

On en déduit alors que la seule possibilité où x et y peuvent être premiers entre eux est si y n'est pas un multiple de 5.

Or, y=5(7k+1) +k +2 donc y ≡ k +2 ( mod 5 ) et k+2 ≠ 0 ( mod 5 ) seulement si k ≠ 3 ( mod 5 )

Donc les solutions pour lesquelles x et y sont premiers entre eux sont celles sous la forme :

x = 25k + 5 ; y = 36k + 7, k ∈ Z et k ≠ 3 (mod 5)

Remarque : Le signe ≠ est un signe de non-congruence et non pas une différence, n'ayant pas trouvé les 3 lignes barrés, j'ai fait avec ce que j'ai pu.

@Guy-Sims Bonjour,

Comme déjà indiqué, vérifie l'énoncé : $36 x + 25 y = 5$ ou $36 x - 25 y = 5$ ?
Ton exercice et tes réponses correspondent à celles du premier exercice de ce lien :
https://melusine.eu.org/syracuse/exemples/prigent/arith.pdf.

Indique éventuellement ce que tu ne comprends pas pour la réponse 3 b.

@Yahya-Se
Merci beaucoup pour votre réponse mais ce donc je ne comprends pas c'est le faite que y/5k+1et la déduction de y ne doit pas être un multiple de 5

@Guy-Sims Bonsoir,

En d'autres termes, pour que deux nombres soit premiers entre eux, leur PGCD doit être de 1

ici, le pgcd(x,y) doit être égale à 1 si on veut que x et y soient premiers entre eux.

Selon l'exercice, x = 5(k+1), en d'autres termes x est déja un multiple de 5.

Nous, on a besoin de satisfaire la condition qui nécessite que le pgcd(x,y)=1.

Or, pour ça, il faut s'assurer que y ne soit pas aussi divisible par 5, sinon le pgcd(x,y) ≠ 1.

Dans la question d'avant, tu as pu établir le fait que le pgcd(x,y) = 1 ou alors le pgcd(x,y) = 5 ( Ce sont les valeurs de d que tu as trouvé ).

On doit donc simplement trouver les solutions pour lesquelles y n'est pas divisible par 5 et donc s'assurer que le pgcd(x,y) =1.

C'est pour cela qu'on a écrit y=7(5k+1) + k, comme ça, il nous est plus facile de trouver les conditions sur le k qui feront en sorte que y ne soit pas divisible par 5.

Je ne sais pas si maintenant cela te semble plus clair, si tu as d'autres questions, n'hésites pas, j'y répondrai aussitôt que possible.

@Yahya-Se
Bonsoir, merci beaucoup c'est plus clair maintenant mais sinon es qu'on ne pouvait pas simplement Construire un tableau de congruence directement de y=36k+7 sans être obligé de décomposer y=7(5k+1)+k et déduire la condition sur k