Exercice de probabilité

Bonjour, svp pourrais-je avoir un coup de main ?

On considère deux urnes : l’une est blanche, l’autre noire, contenant chacune des
boules blanches et des boules noires.
L’urne blanche contient des boules noires en proportion a, (0 < a < 1) ; l’urne noire contient
des boules blanches en proportion b, (0 < b < 1).
On choisit une urne au hasard (probabilité p de tirer l’urne blanche, et q = 1− p de tirer l’urne
noire), et on prend une boule au hasard.
Si la boule tirée est de la même couleur que l’urne, on tire à nouveau une boule dans cette
urne. Dans le cas contraire, on effectue le tirage dans l’autre urne.
On poursuit ainsi ces modes de tirages, supposés tous effectués avec remise dans l’urne de tirage : pour n≥ 2, la n i -ème boule est tirée dans l’urne dont la couleur est celle de la (n −1) i -ème boule tirée.
Pour tout n ≥ 1, on note $p_n$ la probabilité que la n-i -ème boule tirée soit blanche et $q_n$ la probabilité que la n i -ème boule tirée soit noire.

Pour n≥ 2, établir une relation de récurrence entre $p_n$ et $p_{n-1}$ puis de même entre $q_n$ et
$q_{n-1}$
Donner l’expression de $p_1$ en fonction de $p$ et celle de $q_1$ en fonction de $q$
On pose : ∀n ∈ N*, $𝑈𝑛=pn−ba+b𝑈_𝑛 = p_n−\frac{b}{a+b}$
Démontrer que (𝑈𝑛)n∈N* est une suite géométrique.
En déduire l’expression de 𝑈𝑛 puis de $p_n$ en fonction de n, a, b, et 𝑝.
De la même manière, en déduire une expression de $q_n$ en fonction de n, a, b et q
Calculer les limites des suites $p_n$ et $q_n$ quand n tend vers l’infini..
Je ne vois pas même à la première question

Modification de l'écriture de $U_n$ proposée par la modération du site, Wil Fried devra indiquer si elle est correcte.

@Wil-Fried , bonjour,
Je te suggère de re-écrire l'expression de $U_n$ à la question 3, car elle n'est pas compréhensible.

@mtschoon Oui, désolé c'est plutôt b au numérateur. J'ai essayé tout à l'heure de modifier mais on me dit que je ne peux modifier qu'après 3600 secondes.

@Wil-Fried Bonjour,

L'expression de $U_n$ rectifiée est-elle correcte ?

@Noemi Oui oui elle est correcte. C'est tel que l'énoncé l'a donné.

Bonjour,

Merci pour la rectification de l'énoncé relative à la suite $U_n)$

@Wil-Fried , je te démarre l'exercice si tu bloques.
Il faut dire que cet énoncé n'est pas facile à comprendre.

Idée pour calculer $p_n$ en fonction de $p_{n-1}$

Si la $(n−1)eˋme(n-1)^{ème}$ boule tirée est blanche, la $neˋmen^{ème}$ boule est tirée dans l'urne blanche .
Ainsi, cette boule $n^{eme}$ tirée sera blanche ou noire , avec les proportions données dans l'énoncé.

Si la $(n−1)eˋme(n-1)^{ème}$ boule tirée est noire, la $neˋmen^{ème}$ boule est tirée dans l'urne blanche .
Ainsi, cette $neˋmen^{ème}$ boule tirée sera blanche ou noire , avec les proportions données dans l'énoncé.

Avec ce raisonnement, tu dois trouver :

$p_n=(1-a)p_{n-1}+bq_{n-1}$
$p_n=(1-a)p_{n-1}+b(1-p_{n-1})$
Après développement et regroupement, tu dois obtenir :
$pn=(1−a−b)pn−1+b\boxed{p_n=(1-a-b)p_{n-1}+b}$

Tu peux faire la même démarche pour trouver $q_{n}$ en fonction de $q_{n-1}$

Trouver $p_1$ et $q_1$ semble assez facile

Pour la 3), après calcul, avec l'expression de $U_n$ rectifiée, c'est à dire $Un=pn−ba+bU_n=p_n-\dfrac{b}{a+b}$ , tu dois obtenir :
$Un+1=(1−a−b)Un\boxed{U_{n+1}=(1-a-b)U_n}$

donc, $U_n)$ suite géométrique de raison $(1 - a - b)$

Regarde cela de près et essaie de poursuivre.
Reposte si besoin.

@mtschoon Bonjour, merci beaucoup.
J'essaie de poursuivre et je vous reviens.

OK @Wil-Fried
Bien sûr, commence par approfondir l'énoncé , avec toutes ses données , pour comprendre la démarche.
Bon courage !