terminale démontrer que c'est une fonction affine par intervalles

[noamii]

f est définie sur f(x) = 2x+Sqrt(x²+4x+4) si x≼0
et = x+2+E(x) si 0<x≼2
il m'a demandé de montrer que f est une fonction affine par intervalles comment le faire?
j'ai commencé par pour tout x appartenant à ]⁻∞,-2] on a :
f(x)=2x-x-2=x-2
et ....?

[mtschoon]

@noamii , bonjour,

Ton écriture n'est pas claire

Pour $x\le 0$, faut-il comprendre

$f(x)=2x+\sqrt{x^2}+4x+4$ (c'est ce que tu as écrit)
ou
$f(x)=2x+\sqrt{x^2+4x+4}$

Merci de préciser.

[noamii]

c'est la 2ème expression

[mtschoon]

@noamii , je m'en doutais...

Sans utiliser le Latex, tu aurais dû mettre des parenthèses autour de $x^2+4x+4$

[noamii]

@mtschoon Je trouve pas le symbole du racine du coup elle parait comme ça mais c'est la 2eme expression que tu as écrit racine sur tout le polynôme

[noamii]

@mtschoon Et voilà j'ai mis les paramètres

[mtschoon]

@noamii , c'est bien d'avoir complété les parenthèses .

Quelques pistes,

D'après ton énoncé, la fonction $f$ est définie sur $]-\infty ,2]$

I) Etude pour $x\le 0$

$f(x)=2x+\sqrt{x^2+4x+4}=2x+\sqrt{(x+2{)}^2}$
donc $\boxed{f(x)=2x+|x+2|}$
(Revois la notion de valeur absolue si besoin)

Tu dois distinguer deux cas suivant le signe de $x+2$

1er cas : $x+2\le 0$ <=> $x\le -2$
$|x+2|=-(x+2)$
Tu en déduis l'expression de $f(x)$

2ème cas : $x+2\ge 0$ <=> $x\ge -2$
Vu que tu fais l'étude sur $x\le 0$, tu es donc dans le cas : $-2\le x\le 0$

$|x+2|=x+2$
Tu en déduis l'expression de $f(x)$

II) Etude pour $0<x\le 2$
$\boxed{f(x)=x+2+E(x)}$
(Regarde ton cours sur la définition de la partie entière)

Tu dois distinguer trois cas

1er cas : $0<x<1$
$E(x)=0$
Tu en déduis l'expression de $f(x)$

2ème cas : $1\le x<2$
$E(x)=1$
Tu en déduis l'expression de $f(x)$

3ème cas : $x=2$
$E(2)=2$
Tu en déduis l'expression de $f(2)$

Regarde tout ça de près est reposte si besoin.

[noamii]

@mtschoon merci bcq

[mtschoon]

De rien @noamii .
J'espère que c'est clair pour toi.