DM- question sur l'étude du signe

Bonjour, j'ai un Dm de maths à faire mais je bloque à la question 3. Voici l'énoncé :

Soit 𝑔 la fonction définie sur ℝ par : 𝑔(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑥2 − 1.

a) Déterminer les limite de 𝑔 aux bornes de son ensemble de définition.
b) Etablir le tableau de variation de 𝑔 .
a) Démontrer que l’équation 𝑔(𝑥) = 0 a une solution unique 𝛼 dans ℝ .
b) Donner un encadrement de 𝛼 à 10−2 près.
En déduire le signe de 𝑔(𝑥) sur ℝ .

J'ai réussi à faire les deux première question mais je comprends pas pourquoi ils nous demande le signe de g(x) parce qu'on l'a déjà étudier lorsqu'on à trouver le tableau de variation.

Merci d'avance

@pauline888 ,bonjour,

A la question 1, tu n'as pas étudié le signe de $g (x)$ , tu as étudié le sens de variation de la fonction $g$

A la question 2, tu as démontré l'existence de $α\alpha$ qui annule $g (x)$ .

Avec cela , à la question 3), tu peux trouver, suivant que $x$ est supérieur ou inférieur à $α\alpha$ , le signe de $g (x)$ (positif ou négatif)

Reposte si ce n'est pas clair.

J'ai trouvé à la 1) qu'elle était croissante, décroissante puis de nouveau croissante. J'ai trouvé à la 2) que α était compris entre 0,65 et 0,66. Donc je doit en déduire que g(x) est positif car α > 0 ?

@pauline888 ,
Il faut justifier le signe avec précision.
Regarde avec soin le tableau de variation que tu as fait à la première question.

Entre $−∞-\infty$ et $0$ , le maximum est négatif, donc, sur cet intervalle, $g(x)<0g(x)\lt 0$

Entre $0$ et + $∞\infty$ , la fonction $g$ est strictement croissante de $- 1$ et + $∞\infty$ et s'annule pour $x=αx=\alpha$ , donc :
pour $x$ compris entre $0$ et $α\alpha$ , $g(x)<0g(x)\lt 0$
pour $x$ compris entre $α\alpha$ et + $∞\infty$ , $g(x)>0g(x)\gt 0$

Tu fais ensuite une conclusion finale :
$g (x) = 0$ pour ...
$g(x)<0g(x)\lt 0$ pour ...
$g(x)>0g(x)\gt 0$ pour ...

Donc :
g(x) = 0 pour α = x
g(x) < 0 pour α > x
g(x) > 0 pour α < x

g(x) est donc positif

@pauline888 ,

Bizarre ce que tu dis...

Si tu as compris la démarche , tu dois trouver que :
$g(x)<0g(x)\lt 0$ (ce qui veut dire strictement négatif) pour $x<αx\lt \alpha$
$g(x)>0g(x)\gt 0$ (ce qui veut dire strictement positif) pour $x>αx\gt \alpha$
$g (x) = 0$ pour $x=αx=\alpha$

Revois tout ça.

Donc quand g(x) < 0 pour x<α alors le signe sera positif et quand g(x) > 0 pour x>α alors le signe sera négatif.

@pauline888

$g(x)<0g(x)\lt 0$ veut dire de signe négatif ( pour $x<αx\lt \alpha$ )
$g(x)>0g(x)\gt 0$ veut dire de signe positif ( pour $x>αx\gt \alpha$ )

ahh merci beaucoup de votre aide !

De rien @pauline888 ,

Je pense que tu bloquais tout simplement sur le fait que " $<0\lt 0$ " se traduit par "strictement négatif" (de signe "-") et que " $>0\gt 0$ " se traduit par "strictement positif" (de signe "$")

ça te servira pour une autre fois.