prouver que A = B avec les nb complexes

Bonsoir,

Je n'arrive pas à débuter un exercice :
f(z) = 1/6 * ((3+4i)z + 5zbarre)

Z = (f(z) - z)/ 1 + 2i

Je dois montrer que Z = 1/30*( 1 - 2i)((-3 +4i)z + 5 zbarre)

Je ne sais pas par où commencer : par A = B ou B= A ? Je vais tenter de faire A - B = 0 mais peut-être qu'il existe une façon plus simple .

Merci pour toute aide pour le début

Bonjour,

f(z)-z = 1/6 * ((3+4i)z + 5z) - z

f(z)-z = 1/6 * ((3+4i)z + 5z) - 6z/6

f(z)-z = 1/6 * ((-3+4i)z + 5z)

(f(z)-z)/(1+2i) = 1/6 * ((-3+4i)z + 5z)/(1+2i)

(f(z)-z)/(1+2i) = 1/6 * ((-3+4i)z + 5z) * (1-2i)/((1+2i)(1-2i))

(f(z)-z)/(1+2i) = 1/6 * ((-3+4i)z + 5z) * (1-2i)/(1² + 2²)

(f(z)-z)/(1+2i) = 1/6 * ((-3+4i)z + 5z\ -2i( (-3+4i)z + 5z))/5

(f(z)-z)/(1+2i) = 1/30 * ((-3+4i)z + 5z\ + (6i + 8)z - 10iz)

(f(z)-z)/(1+2i) = 1/30 * ((5+10i)z + (5 - 10i)z) (1)

Or (1-2i)(-3+4i) = -3+4i + 6i + 8 = 5+10i

Et donc (1) --> (f(z)-z)/(1+2i) = 1/30 * ((1-2i)(-3+4i) z + (1-2i)*5z)

(f(z)-z)/(1+2i) = 1/30 * (1-2i)*[(-3+4i) z + 5z]

Ce n'est pas la manière la plus simple d'écrire le résultat, mais soit.

On peut aussi écrire :

(f(z)-z)/(1+2i) = 1/6 * [(1+2i)z + (1 - 2i)z]

et en posant z = a + ib -->

(f(z)-z)/(1+2i) = 1/6 * [(1+2i)(a+ib) + (1 - 2i).(a-ib)]

(f(z)-z)/(1+2i) = 1/6 * (a + ib + 2ia - 2b + a-ib - 2ia -2b)

(f(z)-z)/(1+2i) = 1/6 * (a - 4b + a)

(f(z)-z)/(1+2i) = 1/3 * (a - 2b)

Il y a sans doute plus direct pour arriver là.

@Black-Jack Merci je vis tenter de faire cela seule

Ce message a été supprimé !

Une fois de plus, le site supprime certains caractères des messages ...
J'essaie de les rajouter ici, ma fin de message devrait être :

(f(z)-z)/(1+2i) = 1/30 * ((5+10i)z + (5 - 10i)z\ ) (1)

Or (1-2i)(-3+4i) = -3+4i + 6i + 8 = 5+10i

Et donc (1) --> (f(z)-z)/(1+2i) = 1/30 * ((1-2i)(-3+4i) z + (1-2i)*5z\ )

(f(z)-z)/(1+2i) = 1/30 * (1-2i)*[(-3+4i) z + 5z\ ]

**Pour les gestionnaires du site :

Serait-il possible de corriger ce bug (caractères supprimés par le site dans les messages) ?

Dans le cas présent, certains caractères " \ " ont été supprimés.

Si il sont suivi par un "espace" ou une lettre, ils sont bien transcrits, mais si ils sont suivi par un signe de ponctuation ou une parenthèse ou un crochet ou ... , alors le site ne les affiche pas.**