Suite complexe avec conjugué

Bonjour tout le monde j’ai un exo de suite complexe que j’arrive pas à faire alors:
Zn+1= 2+(1/3)(2Zn-conj(Zn))
Le but c’est l’écrire en fonction de n
Si vous pouvez m’aider ou me mettre sur la bonne piste ça me ferait plaisir et merci

Bojour,

Zn = An + i.Bn
Zn\ = An -i.Bn

Z(n+1) = 2 + (1/3)*[2.(An + i.Bn) - (An -i.Bn)]

Z(n+1) = 2 + (1/3)*(2.An + 2.i.Bn - An + i.Bn)

Z(n+1) = 2 + (1/3)*(An + 3.i.Bn)

Z(n+1) = (2 + (1/3)*An) + i.Bn

-->
A(n+1) = 2 + (1/3)*A(n)
B(n+1) = B(n)

Si par exemple Z(0) = Ao + i.Bo

A(n) = 3 * (1 - 1/3^n) + Ao/3^n
B(n) = Bo

Ce qui devrait aboutir à : Z(n) = [3 * (1 - 1/3^n) + Ao/3^n] + i*Bo

A toi de vérifier ...

Et si la suite commence à Z1 et pas à Z0 ... alors il fallait l'écrire et il faudra corriger ce que j'ai écrit en conséquence.

@Black-Jack elle commence à 0 et merci beaucoup

@Black-Jack mais juste une autre question comment vous avez fait pout expliciter An

@mehdi-berrached Bonsoir,

La suite $A_n$ est une suite arithmético géométrique.
Il faut déterminer un point fixe, ici 3, puis étudier une suite auxiliaire :
$B_n=A_n-3$ ,
Tu montres que la suite $B_n)$ est une suite géométrique, puis tu détermines l'expression de $B_n$ en fonction de $n$ , puis $A_n$ en fonction de $n$ .

Bonour,

@mehdi-berrached , j'espère que tu n'as pas confondu les " $B_n$ " des réponses que tu as reçu.

Dans la première réponse (de Black-Jack), $B_n$ est la partie entière de $Z_n$
Dans la seconde réponse (de Noemi), $B_n$ est le terme général de la suite auxillaire utilisée pour prouver que $A_n)$ est une suite arithmético-géométrique.
Je te conseille de changer de notation.

Par exemple,
$An+1=13An+2A_{n+1}=\dfrac{1}{3}A_n+2$
De la forme $A_{n+1}=aA_n+b$
Soit $α=b1−a=3\alpha=\dfrac{b}{1-a}=3$

${An+1=13An+23=13(3)+2\begin{cases}A_{n+1}=\dfrac{1}{3}A_n+2\cr 3=\dfrac{1}{3}(3)+2\end{cases}$
En retranchant membre à membre :
$An+1−3=13(An−3)A_{n+1}-3=\dfrac{1}{3}(A_n-3)$
Soit $U_n=A_n-3$ d'où $Un+1=13UnU_{n+1}=\dfrac{1}{3}U_n$
D'où $U_n)$ suite géométrique de raison $13\dfrac{1}{3}$
$Un=U0(13)nU_n=U_0\biggr(\dfrac{1}{3}\biggr)^n$
$An−3=(A0−3)(13)nA_n-3=(A_0-3)\biggr(\dfrac{1}{3}\biggr)^n$ , d'où:
$An=(A0−3)(13)n+3A_n=(A_0-3)\biggr(\dfrac{1}{3}\biggr)^n+3$