Equation de Cercle



  • Bonjour,
    j'ai un problème avec des exos sur des equations de cercle où il faut aussi utiliser le produit scalaire.

    Exercice 1
    On considère le triangle dont les côtés ont pour équation :
    3x+4y-35=0 (T) ; 3x-4y-35=0 (T') et x-1=0 (T")

    Former l'equation du cercle inscrit dans le triangle.

    =>
    Réponse :Soit ABC un triangle. J'ai calculé l'intersection de (T) et (T'), de (T) et (T") et de (T') et (T"). J'ai trouvé, respectivement, : A(35/3;0), B(8,1) et C(1;-8).
    Mais ça ne m'avance pas beaucoup. Aussi, je sais que le centre du cercle inscrit est l'intersection des bisséctrices. Mais je ne vois pas du tout comment trouver l'intersection des bisséctrices avec ce que j'ai.

    Exercice 2:
    Le point C(3;-1) est le centre d'un cercle découpant sur la droite 2x-5y+18=0 une corde de longueur 6.

    Former l'équation de ce cercle.

    =>
    Réponse :
    Là, je ne vois pas du tout. J'ai juste posé : Soit C(3;-1) le centre du cercle C et, A et B, les intersections entre le cercle C et la droite d'equation 2x-5y+18=0.
    On peut alors dire que l'equation du cercle C est de la forme :
    (x-3)²+(y+1)²=R² avec R le rayon du cercle C.
    J'ai alors posé le système, afin de trouver R, puis les intersections A et B:
    {(x-3)²+(y+1)²=R²
    {2x-5y+18=0

    equiv/{x²+y²-6x+2y+10=R²
    {x=(5y-18)/2
    Ensuite je remplace x par (5y-18)/2 dans la seconde équation. Je retombe alors sur une équation du second degré de la forme : 29y²-239y+580-4R²=0 (Sauf erreur)
    Ensuite je calcul (delta) et je sais qu'il doit être strictement supérieur à 0 puisqu'il y a 2 intersections entre le cercle et la droite. Mais là, je ne sais plus quoi faire.

    Merci d'avance.



  • Pour l'ex. 1

    http://pix.nofrag.com/0a/88/492e2a59fb5918e666eb9ad30b77t.jpg

    Une autre façon de voir le problème ? le centre P est un point de (Ox) tel que
    d(P, (T)) = d(P, (T ')) = d(P, (T '')) : il est équidistant des côtés du triangle.
    Peut-être que ceci te permettra d'avancer.

    Rq : tu as une erreur pour B.



  • Ah oui, au temps pour moi. C'est B(1;8).



  • Zauctore
    Pour l'ex. 1

    http://pix.nofrag.com/0a/88/492e2a59fb5918e666eb9ad30b77t.jpg

    Une autre façon de voir le problème ? le centre P est un point de (Ox) tel que
    d(P, (T)) = d(P, (T ')) = d(P, (T '')) : il est équidistant des côtés du triangle.

    Ah merci j'avais totalement oublié ça. Pour cela je dois utiliser la formule :
    d(P;(T))=|a<em>xa<em>x_p+b</em>yp+b</em>y_p+c|/ sqrtsqrta²+b²
    c'est ça ?
    avec a et b provenant de l'equation de (T) ax+by+c=0 et xp, yp les coordonnées de P



  • Si quelqu'un pouvait m'aider pour les 2 exos, parce que là je n'arrive vraiment pas à avancer.



  • Une autre approche ? la bissectrice partage le côté opposé à l'angle en deux segments proportionnels aux côtés de celui-ci - cela peut permettre de calculer les coordonnées du point de rencontre de la bissectrice avec le côté opposé, puis d'en déduire l'équation de la bissectrice en question.



  • Vraiment je n'y arrive pas.
    Mais sinon, pour l'exercice 2, est-ce que quelqu'un peut me venir en aide ?
    J'ai l'impression que ma méthode n'est pas bonne.



  • Salut ; tu as avancé ?

    Je reste sur l'exo 1 en reprenant la 1re approche :

    • je nomme P(xPP(x_P ; 0) le centre du cercle inscrit, alors 1 < xPx_P < 35/3.
    • on a d(P ; (T''')) = xPx_P - 1
    • on a d(P ; (T)) = | 3 xPx_P - 35 | / 5

    il me semble que ceci conduit à xPx_P = 5.



  • Pour l'exercice 2, avec cette figure et CD = d(C ; (AB)), on trouve le rayon...

    http://pix.nofrag.com/45/f8/ec00b033f17e7d6ba73d6c94e1b9t.jpg



  • Note qu'il faut établir rapidement la formule de la distance d'un point à une droite, si elle n'est pas dans le cours proprement dit.



  • Zauctore
    Note qu'il faut établir rapidement la formule de la distance d'un point à une droite, si elle n'est pas dans le cours proprement dit.
    Merci beaucoup. Je l'ai la formule.
    Soit (delta) : ax+by+c=0 et A(xaA(x_a ;yay_a )
    d(A;(delta))=|a<em>xa<em>x_a+b</em>ya+b</em>y_a+c|/ sqrtsqrta²+b²



  • Ex. 2: R = sqrtsqrt38.



  • Pour rendre le sujet plus complet :

    http://pix.nofrag.com/b4/0f/3834a93b2d08add874022720afc0.jpeg
    Le document entier sera mis en ligne d'ici peu.


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