Suite numérique exercice
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Yyoell dernière édition par yoell
Bonjour , j'aimerais un peu d'aide sur cet exercice :
Soit (yn) la suite définie par :
y0 = 0 ; y₁ = 1 et V n Є N : Yn+2 = Yn + yn+1
Montrer que V n Є N; (Yn+1)² - Yn*Yn+2 = (-1)^n puis
Déduire que V n Є N ; Arctan (1/(Y2n)) = Arctan(1/(Y2n+1)) + Arctan (1/(Y2n+2))
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mtschoon dernière édition par mtschoon
Bonjour/bonsoir,
@yoell , je trouve que cet exercice n'est guère dans l'esprit "Terminale".
Je le verrais plutôt en "Supérieur".
Si tu t'es trompé de rubrique, ce serait bien de l'indiquer.Quelques pistes possibles,
Pour la première partie, une interprétation matricielle doit pouvoir convenir,
(Yn+2Yn+1)=(1 11 0)×(Yn+1Yn)\begin{pmatrix}Y_{n+2}\cr Y_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\ 1\cr 1 \ 0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}Y_{n+1}\cr Y_{n}\end{pmatrix}(Yn+2Yn+1)=(1 11 0)×(Yn+1Yn)
Suite géométrique
(Yn+2Yn+1)=(1 11 0)n×(Y2Y1)=(1 11 0)n×(11)\begin{pmatrix}Y_{n+2}\cr Y_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\ 1\cr 1 \ 0\end{pmatrix}^n \times \begin{pmatrix}Y_{2}\cr Y_{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\ 1\cr 1 \ 0\end{pmatrix}^n \times \begin{pmatrix}1\cr 1\end{pmatrix}(Yn+2Yn+1)=(1 11 0)n×(Y2Y1)=(1 11 0)n×(11)De même, on trouve :
(Yn+1Yn)=(1 11 0)n×(Y1Y0)=(1 11 0)n×(10)\begin{pmatrix}Y_{n+1}\cr Y_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\ 1\cr 1 \ 0\end{pmatrix}^n \times \begin{pmatrix}Y_{1}\cr Y_{0}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\ 1\cr 1 \ 0\end{pmatrix}^n \times \begin{pmatrix}1\cr 0\end{pmatrix}(Yn+1Yn)=(1 11 0)n×(Y1Y0)=(1 11 0)n×(10)(Yn+1 Yn+2Yn Yn+1)=(1 11 0)n×(1 10 1)\begin{pmatrix}Y_{n+1}\ Y_{n+2}\cr Y_n\ \ \ \ Y_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\ 1\cr 1 \ 0\end{pmatrix}^n \times \begin{pmatrix}1\ 1 \cr 0\ 1\end{pmatrix}(Yn+1 Yn+2Yn Yn+1)=(1 11 0)n×(1 10 1)
En prenant les déterminants, on obtient
(Yn+1)2−YnYn+2=(−1)n(Y_{n+1})^2-Y_nY_{n+2}=(-1)^n(Yn+1)2−YnYn+2=(−1)nPour la conséquence,
(Y2n+1)2−Y2nY2n+2=(−1)2n(Y_{2n+1})^2-Y_{2n}Y_{2n+2}=(-1)^{2n}(Y2n+1)2−Y2nY2n+2=(−1)2n
(Y2n+1)2−Y2nY2n+2=1(Y_{2n+1})^2-Y_{2n}Y_{2n+2}=1(Y2n+1)2−Y2nY2n+2=1il est possible de partir de la propriété
Arctana−Arctanb=Arctana−b1−abArctana-Arctanb=Arctan\dfrac{a-b}{1-ab}Arctana−Arctanb=Arctan1−aba−b, avec
a=1Y2na=\dfrac{1}{Y_{2n}}a=Y2n1 et b=1Y2n+2b=\dfrac{1}{Y_{2n+2}}b=Y2n+21En calculant, simplifiant , et en utilisant la formule (Y2n+1)2=Y2nY2n+2+1(Y_{2n+1})^2=Y_{2n}Y_{2n+2}+1(Y2n+1)2=Y2nY2n+2+1, on arrive, sauf erreur à :
Arctan(1Y2n)−Arctan(1Y2n+2)=Arctan(1Y2n+1)Arctan(\dfrac{1}{Y_{2n}})-Arctan(\dfrac{1}{Y_{2n+2}})=Arctan(\dfrac{1}{Y_{2n+1}})Arctan(Y2n1)−Arctan(Y2n+21)=Arctan(Y2n+11)A vérifier et Bons calculs !