Morphisme de groupes

Bonjour à tous, voici la question qui me pose problème :
<< Déterminer tous les morphismes de ( Z ; + ) dans lui-même >>
Après plusieurs essais, j'ai pu en déduire que f : ( Z ; + ) --> ( Z ; + ) est un morphisme si f(x) = kx avec k entier.
Cependant, je ne sais pas comment démontrer que f(x) = k*x représente l'ensemble de tous les morphismes et qu'il en n'existe par d'autres applications différentes.

Je vous remercie d'avance de vos réponses !

@Freezebi Bonjour,

Tu as une correction, exercice 24 : https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebre/groupe&type=fexo

Bonjour,

@Freezebi , j'espère que la correction proposée t'a donnée des idées.
R.A.S. sur cette correction, mais elle démarre par $f (n) = n f (1)$ .
Cela n'est peut-être pas très "évident".
Il faut dire qu'il avait une indication que ton énoncé ne te donne pas.

Je te libre quelques réflexions.

Outils à utiliser :
f étant un morphisme de $(Z, +)$ vers $(Z, +$ ), c'est à dire un endomorphisme de $(Z, +$ ), pour tout $x_1$ et $x_2$ de $Z$ :
$f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)$
$0$ élément neutre de (Z,+) ensemble de départ a pour image $f (0)$ élément neutre de (Z,+) ensemble d'arrivée.
Comme il s'agit du même ensemble $(Z, +)$ : $f(0)=0\boxed{f(0)=0}$

A partir de là, tu peux exprimer $f (1), f (2), f (3), . .$ , conjecturer l'expression de $f (x)$ pour x entier positif, la démontrer et la généraliser à tout entier relatif $x$ .

Pistes,

Pour $x = 0$ : $f (0) = 0$
Pour $x = 1$ : $f (1)$ est la valeur $k$ dont tu parlais
Pour $x = 2$ : $f (2) = f (1 + 1) = f (1) + f (1) = 2 f (1)$
Pour $x = 3$ : $f (3) = f (2 + 1) = f (2) + f (1) = 2 f (1) + f (1) = 3 f (1)$
Pour $x = 4$ : $f (4) = f (3 + 1) = f (3) + f (1) = 3 f (1) + f (1) = 4 f (1)$

Tu conjectures que pour $x = n$ avec $n∈Nn\in N$ , $f (n) = n f (1)$
Petite récurrence
Pour $x = n + 1$ : $f (n + 1) = f (n) + f (1) = n f (1) + f (1) = (n + 1) f (1)$
Donc, pour tout $x$ entier positif : $f (x) = x f (1)$

Conséquence pour tout $x$ entier strictement négatif :
Soit $x = - n$ avec $n∈N∗n\in N^*$
Vu que $f (- n) + f (n) = f (- n + n) = f (0) = 0$ , tu déduis que :
$f (- n) = - f (n) = - [n f (1)] = (- n) f (1)$

Donc, tout $x$ entier strictement négatif: $f (x) = x f (1)$

Conclusion générale :
Pour tout $x$ entier relatif de $Z$ : $f(x)=xf(1)\boxed{f(x)=xf(1)}$

Si tu préfères, en posant $f (1) = k$ tu retrouves ainsi ce que tu avais conjecturé : $f (x) = k x .$

Bonne lecture.

@Noemi @mtschoon Merci pour vos retours ! C'est vrai que j'ai rencontré quelques difficultés concernant la correction tel qu'elle est, mais maintenant tout devient plus clair, merci.

Si maintenant c'est plus clair pour toi @Freezebi , c'est parfait.

Bon travail !

Merci à vous aussi

De rien @Freezebi et bonne semaine.