Exercice de maison première année de licence mathématiques

On veut montrer que l'ensemble F = { pln2 + qln3 / ( p,q ) £ Z² } est dense.

Quand dit-on qu'un sous-ensemble A de lR est dense dans IR ?
Montrer que ln2 et ln3 sont dans F , et que si x £ F alors mx £ F pour tout m £ F.
Soit alpha = inf F inter IR*+.
a) Justifier que l'existence de alpha et montrer que si alpha £ F inter IR*+ alors pour tout x £ F , x–alphaE(x/alpha ) = 0.
b ) Montrer que ln2/ln3 n'appartient pas à Q.

@medou-coulibaly Bonjour, (Marque de politesse à ne pas oublier !!)

Tu postes dans le mauvais forum. Je bascule le sujet dans supérieur.

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.

@Noemi bonjour, la question numéro 1

@Noemi la question 1 , je suis bloqué dessus

Bonsoir,

@medou-coulibaly , ton énoncé n'est pas clair...

Tu parles de E dense, mais dense dans quoi ? tu ne le dis pas.

Pour ta question 1), tu peux regarder la définition dans ton cours.
J'ignore ce qu'il indique , mais en principe, on dit que $A$ est dense dans $R$ si tout intervalle $] a, b [$ de $R$ non vide (c'est à dire $a≠ba\ne b$ ) contient au moins un élément de $A$

@mtschoon ok d'accord pour la question 1 je vous comprends, mais la question 2 je ne comprends pas du tout.

@mtschoon
Aussi , prenez le temps svp de lire mon énoncé, j'ai parlé qu'une seule fois de densité.
C'est-à-dire, c'est à la première question seulement que j'ai parlé de densité.
1 / Quand dit-on qu'un sous-ensemble A de lR est dense dans IR ?

@medou-coulibaly ,
Tu as écrit :
"On veut montrer que l'ensemble F = { pln2 + qln3 / ( p,q ) £ Z² } est dense".
C'est pour cela que je t'ai demandé "dense dans quoi".

Pour la question 1) qui te bloquait , je t'ai déjà donné la définition de $A$ dense dans $R$
Tu pourrais dire aussi
$∀x∈R,∀ϵ∈R,∃y∈F/∣y−x∣<ϵ\forall x\in R, \forall \epsilon\in R, \exist y \in F / |y-x|\lt \epsilon$

on peut ajouter que pour que A soit dense dans R, il faut et il suffit que tout élément de R soit limite d'une suite d'éléments de A.

Je regarde la 2)
En prenant $p = 0$ et $q = 1$ tu obtiens $l n 3$ donc $ln3∈Fln3\in F$
En prenant $p = 1$ et $q = 0$ tu obtiens $l n 2$ donc $ln2∈Fln2\in F$

Le reste de la question n'est pas exact...
Tu as écrit : "si x £ F alors mx £ F pour tout m £ F".

Contre exemple
soit $x = p l n 2 + q l n 3$
soit $m = l n 2$
$m x = (p l n 2) l n 2 + (q l n 2) l n 3$

$(p l n 2)$ et $(q l n 2)$ ne sont pas des entiers donc $m x$ ne peut pas appartenir à $F$

Je ne peux rien faire de plus pour l'énoncé écrit.

Pour démonter que $ln2ln3\dfrac{ln2}{ln3}$ est irrationnel (question 3), tu peux consulter la vidéo ici :
https://www.youtube.com/watch?v=2J4-n8l3sSI

Bon courage.

@mtschoon ok merci d'abord pour votre participation , mais tel que j'ai écrit c'est comme cela que l'exercice est, je n'ai rien retranché , ni rien ajouté, on dit sur le groupe on envoie pas image, sinon j'allais vous envoyer la photo de l'exercice

@mtschoon
Bonjour/Bonsoir Mtschoon, Black Jack, Néomi.
Ici était mon premier poste sur le forum, aujourd'hui je viens vers vous pour vous informer que j'ai validé mon année avec succès, je tiens à remercier tous les membres qui pris leur temps à m'aider pour la résolution de mes différents exercices dont je ne comprenais pas, je remercie toutes ces personnes.
J'ai validé mon année grâce à vous , grâce à vos aides.Mon voisin Soro Donassi aussi vous dit merci beaucoup.Je vous aime beaucoup 🥰️ Bonnes vacances à tous et à toutes

@medou-coulibaly a dit dans Exercice de maison première année de licence mathématiques :

@mtschoon
Bonjour/Bonsoir Mtschoon, Black Jack, Néomi.
Ici était mon premier poste sur le forum, aujourd'hui je viens vers vous pour vous informer que j'ai validé mon année avec succès, je tiens à remercier tous les membres qui pris leur temps à m'aider pour la résolution de mes différents exercices dont je ne comprenais pas, je remercie toutes ces personnes.
J'ai validé mon année grâce à vous , grâce à vos aides.Mon voisin Soro Donassi aussi vous dit merci beaucoup.Je vous aime beaucoup 🥰️ Bonnes vacances à tous et à toutes

Bonjour et bravo pour la validation de ton année.
Bonne continuation.

Black Jack

@Black-Jack Merci beaucoup Monsieur 🥰

@medou-coulibaly , bonjour,

Bravo à toi et à Soro Donassi pour ces beaux succès.

Nous avons aidé au mieux, mais ce sont vos efforts qui ont été récompensés . Encore Bravo !

@mtschoon merci beaucoup Madame , merci beaucoup à toute l'équipe 🥰