Vecteurs liées avec formes linéaires alternées ?

Bonjour à tous,

Je bloque depuis plusieurs jours sur un exercice et je ne trouve pas beaucoup de ressources concernant les formes linéaires alternées sur internet.

Voici l'énoncé :
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Soient E=R^3 et u,v,w ∈ E. Soient des formes alternées β1, β2 ∈ Λ^2(E) telles qu'on a :
(Λ^2(E) est l'espace vectoriel des formes 2-linéaires alternées sur E).

β1(u,v)=3 et β2(u,v)=-1
β1(u,w)=-1 β2(u,w)=4
β1(v,w)=2 β2(v,w)=3

a) Trouvez la valeur de β1(v+w, u-w)
b) Déterminer si les vecteurs u, v, w sont liés.
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J'ai réussi la question a), mais la question b) je n'y arrive pas.

Je sais qu'il doit avoir quelque chose en lien avec le déterminant, et si ce dernier est nul, alors la famille est liée. Je sais aussi que si deux vecteurs sont liés dans une application multilinéaire alors l'application vaut 0. Autrement dit f(v1,v2)=0 ssi v1 et v2 sont liés.

Or c'est là que j'ai un problème :
Ici je n'ai pas l'expression de Beta1 ni de Beta2, et en plus, je peux même pas évaluer Beta1(u,v,w) car Beta1 est une forme linéaire de degré 2, donc ne prend que 2 vecteurs en entrée, pas 3...

Je dois passer à côté de quelque chose.
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Est-ce-que quelqu'un peut m'éclairer s'il vous plaît ?

Merci

@max155 Bonjour,

Le scan ou un lien de l'énoncé de l'exercice est interdit sur ce forum. Seuls les scans de schémas, graphiques ou figures sont autorisés.
Écris l'énoncé, tes éléments de réponse et indique la question qui te pose problème. Tu obtiendras alors des pistes de résolution.

Le scan va être supprimé par la modération du site.

J'ignorais cela, pardon ! Je ré-écris l'énoncé de suite !

Bonjour/bonsoir,

@max155 , c'est donc le b) qui te pose problème.

Une idée,

Tu peux chercher par exemple, s'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $w = a u + b v$

$β1(au+bv,w)=0\beta_1(au+bv,w)=0$
$β2(au+bv,w)=0\beta_2(au+bv,w)=0$

Tu explicites :
$aβ1(u,w)+bβ1(v,w)=0a\beta_1(u,w)+b\beta_1(v,w)=0$
$aβ2(u,w)+bβ2(v,w)=0a\beta_2(u,w)+b\beta_2(v,w)=0$

Tu rempaces par les valeurs de l'énoncé

Tu obtiendras un système de 2 équations à 2 inconnues $a$ et $b$ à résoudre.