DM pour la rentrée ! Coût Total Marginal, Moyen

[Yass2]

**Bonjour, Bonsoir ! J’ai un dm à faire pour la rentrée et ça va faire plusieurs heures que je suis bloqué dessus.. **

Pouvez vous s’il vous plaît m’aidez, merci énormément à l’avance !

Voici l’énoncé :

Pour une entreprise fabriquant des objets, on définit les quantités suivantes :
• Le coût total de production C(q) qui correspond à la somme de tous les coûts (les coûts fixes dûs à l’achat de machines, les locaux, etc. , et les coûts variables qui dépendent de la quantité d’objets produits : les achats de matières première, la main d’oeuvre, etc.) permettant de produire une quantité q d’objets.
• Le coût moyen, ou coût unitaire CM(q), défini par CM(q) = C(q). q
• Le coût marginal Cm(q) qui correspond au coût de production de q-ème objet, lorsqu’on en a déjà produit q − 1 : Cm(q) = C(q) − C(q − 1).
Exercice – Un producteur de légumes livre directement chez le consommateur des paniers de 5kg de légumes variés. Sa production mensuelle permet de livrer au maximum 1000 paniers par mois.
Le coût total de production mensuel, en centaines d’euro, est modélisé par la fonction C définie sur [0; 10] par : C(q)= −1/48 q^4 + 5/16 q^3+ 5q +10
où q est le nombre de paniers (exprimé en centaines de paniers) produits chaque mois.

A) Coût marginal

1. Déterminer une expression de Cm(q).
2. Calculer C′(q). Que peut-on dire de la fonction C ?
3. Tracer sur la calculatrice les courbes représentatives de C′ et de Cm que [0;10]. Que peut-on remarquer?

B) Variations du coût marginal
Désormais, on assimile le coût marginal Cm à la fonction dérivée de C : pour tout q ∈ [0; 10], Cm(q) = C′(q).

1. Calculer Cm(6) et interpréter le résultat.
2. Etudier les variations de la fonction Cm sur [0; 10]. Interpréter.

C) Coût moyen et coût marginal

1. Exprimer CM′(q) en fonction de q.
2. Justifier que l’équation CM′(q) = 0 admet une unique solution sur ]0;10], notée q0. Déterminer une valeur approchée
   de q0 à 10−3 près.
3. En déduire les variations de CM sur ]0;10].
4. Représenter sur un même graphique le coût moyen et le coût marginal et faire le lien entre la croissance ou la décroissance du coût moyen et la position relative des deux courbes.
   Maths complémentaires

D) Bénéfice maximal
On admet dans cette partie que tout ce qui est produit est vendu à 20 euros le panier.
La recette mensuelle R est exprimée en centaines d’euros.
Le bénéfice mensuel B est la quantité d’argent qui reste au producteur une fois que les coûts ont été retranchés de la recette.

1. Exprimer la recette R(q) en fonction de q.
2. Exprimer B(q) en fonction de q.
3. Déterminer B′(q).
4. On cherche ici à déterminer le signe de la fonction B′ sur [0; 10].
   (a) Calculer B′′(q) (B′′ est la dérivée de B′) et déterminer son signe sur [0;10].
   (b) En déduire le tableau de variations de B′ sur [0; 10].
   (c) Démontrer qu’il existe exactement deux valeurs α et β telles que B′(α) = 0 et B′(β) = 0, avec 0 < α < 7,5 et 7, 5 < β < 10.
   (d) Donner une valeur approchée à 10−2 près de α et β.
   (e) En déduire le signe de B′ sur [0; 10].
5. En déduire le tableau de variations de B, puis le nombre de paniers pour lequel le bénéfice est maximal. Calculer alors ce bénéfice maximal.

Mon avancée

Alors j’ai réussi à faire la partie A mais je bloque à la partie B

B) 1) Cm(6) = C’(6) = -1/12 6^3 + 5/16 6^2 + 5 = -7/4

Mais ensuite pour la 2 je bloque je comprend pas comment étudier les variations

[Noemi]

@Yass2 Bonsoir,

Pour les variations, étudie le signe de la dérivée.