DM ALGEBRE LINEAIRE AIDEZ MOI SVP

Exercice 1.

Soit E un espace vectoriel réel de dimension n. On note E ∗ l’espace des applications linéaires L(E, R) (voir page 17 du chapitre 1 pour la notation).

Quelle est la dimension de E ∗ ? On appellera E ∗ l’espace dual de E.
Soit {e1, . . . , en} une base de E. Montrer qu’on définit une base de E ∗ en posant, pour tout i ∈ {1, . . . , n}, fi(ei) = 1 et fi(ej ) = 0 si j 6= i. Indication : on vérifiera que f1, . . . , fn sont des éléments de L(E, R) et qu’ils sont linéairement indépendants. La famille {f1, . . . , fn} s’appelle la base duale de {e1, . . . , en}.

Soit P2(R) l’ensemble des fonctions polynômes à coefficients dans R de degré ≤ 2 et soient x1, x2, x3 trois réels distincts. On note P ∗ 2 (R) le dual de P2(R). Pour chaque i = 1, 2, 3 on définit Li ∈ P∗ 2 (R) en posant Li(P) = P(xi) pour tout P ∈ P2(R).

Montrer que {L1, L2, L3} est une base de P ∗ 2 (R).
Déterminer la base {P1, P2, P3} de P2(R) dont {L1, L2, L3} est la base duale. Quelles sont les coordonnées d’un polynôme P ∈ P2(R) dans la base {P1, P2, P3} ?

Exercice 2. Soit tr: Mn,n(R) → R l’application linéaire trace (définition 7.17, page 25 du chapitre 1). 1. Soit W0 le sous espace vectoriel de Mn,n(R) engendré par les matrices de la forme AB − BA lorsque A, B ∈ Mn,n(R). Montrer que W0 = ker tr. 2. Soit f ∈: Mn,n(R) → R une application linéaire telle que f(AB) = f(BA) pour tout A, B ∈ Mn,n(R). Montrer que f et tr sont linéairement dépendantes et expliciter leur relation

@Remyyy Bonjour, (Marque de politesse à ne pas oublier !!)

Un seul exercice par post. Propose un autre sujet pour l'exercice 2.

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.