Devoir complexe forme trigonométrique

Bonsoir j'ai besoin d'aide pour un devoir,

Voici l'énoncé :

Résoudre z⁵ - 2z⁴ +16 iz - 32i = 0 si on sait que cette equation a une solution réelle au moins.

Ce que j'ai commencé par faire est de transformer z par un réel a par exemple ensuite j'ai fait un paramètre en séparant ma partie réelle de ma partie imaginaire j'ai donc trouvé la valeur de a. Maintenant la question que je me pose est : est ce que je dois faire plusieurs Horner pour ensuite retomber sur une réponse et la transformer en forme trigonometrique ? Mais n'est ce pas justement trop long ?

Merci à ceux qui prendront le temps de répondre

Bonjour,

z⁵ - 2z⁴ +16 iz - 32i = 0
z^4*(z-2) + 16i.(z-2) = 0
(z-2).(z^4 + 16i) = 0

z = 2 ou z^4 = -16i

z^4 = -16.i
z^4 = 16 * e^(i*(- Pi/2 + 2k.Pi))
z = 2 * e^(i*(- Pi/8 + k.Pi/2)) avec k = 0 ou 1 ou 2 ou 3
...

@Black-Jack merci pour votre réponse j'ai finalement réussi à développer mon exercice en ne faisant qu'une fois Horner et en posant. Bonne soirée à vous et merci encore