3. Devoir sur les complexes

Devoir sur les complexes

  • *__mnl__elm__*

    Bonsoir j'ai besoin d'aide sur un devoir, voici l'énoncé :
    Résoudre dans les complexes l'équation suivante :

    z⁴ - 9z³+33z²-54z+36=0

    Sachant qu'aucune solution n'est réelle et que l'une est double de l'autre.

    Je n'arrive pas à comprendre la dernière phrase en réalité.

    Merci à ceux qui prendront le temps de répondre.

  • mtschoon

    @__mnl__elm__ , bonsoir,

    Je viens de regarder ta question à l'instant et n'ai rien cherché.

    " l'une est double de l'autre" veut dire que si z1z_1z1​ est une solution, 2z12z_12z1​ sera aussi solution.

    *__mnl__elm__* 1 réponse
  • *__mnl__elm__*

    @mtschoon d'accord je vois, mais je n'arrive pas à comprendre si ma solution n'est pas réelle cela veut dire que je ne peux pas remplacer z par un réel et donc je n'arrive pas à le développer. Dans ce cas de figure où mes solutions ne sont pas réelles comment puis-je développer mon calcul ?

  • mtschoon

    Re-bonsoir, @__mnl__elm__

    Une piste ,

    Raisonne par déduction , en utilisant les consignes de l'énoncé (pas d'équivalence logique) donc, en toute rigueur, la vérification des réponses fera partie de la démarche.

    Si z est une solution on aura
    z⁴−9z³+33z²−54z+36=0z⁴ - 9z³+33z²-54z+36=0z⁴−9z³+33z²−54z+36=0
    Son double 2z2z2z sera solution, c'est à dire :
    (2z)⁴−9(2z)³+33(2z)²−54(2z)+36=0(2z)⁴ - 9(2z)³+33(2z)²-54(2z)+36=0(2z)⁴−9(2z)³+33(2z)²−54(2z)+36=0

    En retranchant membre à membre , en mettant zzz en facteur et en simplifiant par 333, sauf erreur, on arrive à
    z(5z3−21z2+33z−18)=0z(5z^3-21z^2+33z-18)=0z(5z3−21z2+33z−18)=0

    Vu que z=0z=0z=0 n'est pas solution, on arrive à :
    5z3−21z2+33z−18=05z^3-21z^2+33z-18=05z3−21z2+33z−18=0

    En factorisant, sauf erreur, on obtient :
    (z−65)(5z2−15z+15)=0(z-\dfrac{6}{5})(5z^2-15z+15)=0(z−56​)(5z2−15z+15)=0

    Sachant qu'aucune solution n'est réelle, z=65z=\dfrac{6}{5}z=56​ ne convient pas.

    Il reste l'équation du second degré : 5z2−15z+15=05z^2-15z+15=05z2−15z+15=0
    On peut simplifier par 555, ce qui donne :
    z2−3z+3=0z^2-3z+3=0z2−3z+3=0
    Solutions :
    z1=32+32i\boxed{z_1=\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt 3}{2}i}z1​=23​+23​​i​ et z2=32−32i\boxed{z_2=\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt 3}{2}i}z2​=23​−23​​i​

    Vu que 2z2z2z est aussi solution, les deux autres solutions seront :
    z3=3+3i\boxed{z_3=3+\sqrt 3 i}z3​=3+3​i​ et z4=3−3i\boxed{z_4=3-\sqrt 3 i}z4​=3−3​i​

    Bons calculs

  • B

    Bonjour,

    Si on "ne voit pas" pour factoriser ... une alternative :

    z^4 - 9z³ + 33z² - 54z + 36 = 0 (1)
    (2z)^4 - 9 * (2z)³ + 33 * (2z)² - 54 * (2z) + 36 = 0 (2)

    (2) - (1) et en remarquant que 0 n'est pas solution, on arrive à : 5z³ - 21z² + 33z - 18 = 0 (3)

    (2) - 2^4 * (1) ---> les termes en z^4 s'annulent et après simplification, on obtient : 72z³ - 396z² + 756z - 250 = 0

    72z³ - 396z² + 756z - 250 = 0
    2z³ - 11z² + 21z - 15 = 0 (4)

    5*(4) - 2*(3) --> les termes en z³ s'annulent et on obtient en simplifiant : z² - 3z + 3 = 0

    qui donnent les solutions z1 et z2 de mtschoon

    Et en les multipliant par 2 ..

  • mtschoon

    Bonsoir,
    Oui , certes, on peut "ne pas voir" comment factoriser, mais c'est plutôt simple par décomposition/regroupement.
    J'avais laissé @__mnl__elm__ chercher seul...

    5z3−21z2+33z−18=05z^3-21z^2+33z-18=05z3−21z2+33z−18=0
    5z3−15z2−6z2+15z+18z−18=05z^3-15z^2-6z^2+15z+18z-18=05z3−15z2−6z2+15z+18z−18=0
    (5z3−15z2+15z)−(6z2−18z+18)=0(5z^3-15z^2+15z)-(6z^2-18z+18)=0(5z3−15z2+15z)−(6z2−18z+18)=0
    5z(z2−3z+3)−6(z2−3z+3)=05z(z^2-3z+3)-6(z^2-3z+3)=05z(z2−3z+3)−6(z2−3z+3)=0
    (5z−6)(z2−3z+3)=0(5z-6)(z^2-3z+3)=0(5z−6)(z2−3z+3)=0
    et le tour est joué :
    (z2−3z+3)=0(z^2-3z+3)=0(z2−3z+3)=0, vu que 5z−6=05z-6=05z−6=0 n'est pas possible

    @__mnl__elm__ a le choix !

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