développement en facteurs premiers d'un très grand nombre

[tictactoe]

Bonjour tout le monde!

J'étudie présentement le nombre N=51^122 - 7^235 et je cherche à trouver il y a combien de puissances de 2, de 3, de 5 et de 7 lorsqu'on développe N en facteurs premiers.

Pour l'instant, je sais qu'il y a 0 puissance de 5 puisque j'ai trouvé que N est congrue à 58 (mod 100). Ensuite, j'ai trouvé que 51^122 > 7^235 car 7^235 = 49^122 * 7/49^5.

J'ai essayé plein de trucs, mais rien ne fonctionne pour trouver les autres puissances.

Merci pour votre aide!

[mtschoon]

@tictactoe , bonjour,

Je consulte superficiellement ta question

Piste pour démarrer,

Effectivement N est bien congru à 58 (mod 100)
J'espère que tu l'a démontré avec rigueur.
Je me suis contentée de taper l'expression de N sur ma calculette qui m'a donnée l'expression N=...............58

Vu que ce nombre ne se termine ni par 0, ni par 5, comme tu l'indiques, tu peux déjà conclure qu'il n'est pas multiple de $5$, donc, dans N, il y a $0$ puissance de $5$

Comme le chiffre des unités de ce nombre est pair, il est multiple de $2$.
Le nombre composé par les deux derniers chiffres ($58$) n'est pas multiple de 4 ( c'est à dire $2^2$ ), donc dans N, le nombre de puissance de $2$ est $1$

Sauf erreur, d'après ma calculette, N n'est multiple, ni de $3$, ni de $7$.
Il te reste à le prouver. (Tu peux , peut-être, penser à des raisonnements par l'absurde, sachant que , en le décomposant en facteurs premiers, $51=3\times 17$).