SVP j ai besoin d aide dans un exercice de polynôme

Bonjour
Comment je montre que un polynôme de degré 2n+1 doit nécessairement avoir une racine réelle

Cette question n'est pas facile à expliquer au niveau Première...
Je te donne une idée, mais adapte en fonction de ton cours.

Tu n'indiques rien sur $n$ ...
Je suppose que n est un naturel.

Piste,
Soit $P(x)=a_{2n+1}x^{2n+1}+a_{2n}+...+a_0$ avec $a2n+1≠0a_{2n+1}\ne 0$

P est une fonction polynôme, définie dérivable donc continue sur $R$

En $−∞-\infty$ et $+∞+\infty$ , la limite d'un polynôme est la limite de son terme de plus fort degré , donc ici de $a_{2n+1}x^{2n+1}$

1er cas : Soit $a2n+1>0\boxed{a_{2n+1}\gt 0}$

$lim⁡x→−∞P(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to -\infty}P(x)=-\infty$
$lim⁡x→+∞P(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to +\infty}P(x)=+\infty$
Vu la continuité de $P$ , $P$ est une application de $R$ vers $R$
Tout élément de $R$ (ensemble d'arrivée) a au moins un antécédent dans l'ensemble $R$ de départ.
En particulier $0$ (de l'ensemble d'arrivée) a au moins un antécédent $x_0$ dans l'ensemble R de départ.

L'équation $P (x) = 0$ a donc au moins une solution réelle $x_0$

Illustration graphique

$x_0$ est l'abscisse de $A$

@Anwar-Ben-Brahim

2ème cas : Soit $a2n+1<0\boxed{a_{2n+1}\lt 0}$

$lim⁡x→−∞P(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to -\infty}P(x)=+\infty$
$lim⁡x→+∞P(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to +\infty}P(x)=-\infty$

Vu la continuité de $P$ , $P$ est une application de $R$ vers $R$
Tout élément de $R$ (ensemble d'arrivée) a au moins un antécédent dans l'ensemble $R$ de départ.
En particulier $0$ (de l'ensemble d'arrivée) a au moins un antécédent $x_0$ dans l'ensemble R de départ.

L'équation $P (x) = 0$ a donc au moins une solution réelle $x_0$

Illustration graphique

$x_0$ est, par exemple, l'abscisse de $A$

Reposte si besoin.

Merci beaucoup

De rien @Anwar-Ben-Brahim et bon travail .