SVP j ai besoin d aide dans un exercice de polynôme


  • Anwar Ben Brahim

    Bonjour
    Comment je montre que un polynôme de degré 2n+1 doit nécessairement avoir une racine réelle


  • mtschoon

    @Anwar-Ben-Brahim , bonjour,

    Cette question n'est pas facile à expliquer au niveau Première...
    Je te donne une idée, mais adapte en fonction de ton cours.

    Tu n'indiques rien sur nnn ...
    Je suppose que n est un naturel.

    Piste,
    Soit P(x)=a2n+1x2n+1+a2n+...+a0P(x)=a_{2n+1}x^{2n+1}+a_{2n}+...+a_0P(x)=a2n+1x2n+1+a2n+...+a0 avec a2n+1≠0a_{2n+1}\ne 0a2n+1=0

    P est une fonction polynôme, définie dérivable donc continue sur RRR

    En −∞-\infty et +∞+\infty+, la limite d'un polynôme est la limite de son terme de plus fort degré , donc ici de a2n+1x2n+1a_{2n+1}x^{2n+1}a2n+1x2n+1

    1er cas : Soit a2n+1>0\boxed{a_{2n+1}\gt 0}a2n+1>0

    lim⁡x→−∞P(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to -\infty}P(x)=-\inftyxlimP(x)=
    lim⁡x→+∞P(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to +\infty}P(x)=+\inftyx+limP(x)=+
    Vu la continuité de PPP, PPP est une application de RRR vers RRR
    Tout élément de RRR (ensemble d'arrivée) a au moins un antécédent dans l'ensemble RRR de départ.
    En particulier 000 (de l'ensemble d'arrivée) a au moins un antécédent x0x_0x0 dans l'ensemble R de départ.

    L'équation P(x)=0P(x)=0P(x)=0 a donc au moins une solution réelle x0x_0x0

    Illustration graphique

    x0x_0x0 est l'abscisse de AAA

    poly1.jpg


  • mtschoon

    @Anwar-Ben-Brahim

    2ème cas : Soit a2n+1<0\boxed{a_{2n+1}\lt 0}a2n+1<0

    lim⁡x→−∞P(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to -\infty}P(x)=+\inftyxlimP(x)=+
    lim⁡x→+∞P(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to +\infty}P(x)=-\inftyx+limP(x)=

    Vu la continuité de PPP, PPP est une application de RRR vers RRR
    Tout élément de RRR (ensemble d'arrivée) a au moins un antécédent dans l'ensemble RRR de départ.
    En particulier 000 (de l'ensemble d'arrivée) a au moins un antécédent x0x_0x0 dans l'ensemble R de départ.

    L'équation P(x)=0P(x)=0P(x)=0 a donc au moins une solution réelle x0x_0x0

    Illustration graphique

    x0x_0x0 est, par exemple, l'abscisse de AAA

    poly2.jpg

    Reposte si besoin.


  • Anwar Ben Brahim

    Merci beaucoup


  • mtschoon

    De rien @Anwar-Ben-Brahim et bon travail .


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