DIVISION ECLEUDIENNE D'UN NOMBRE AVEC PUISSANCE DE N

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour un exercice :

Comment prouver que pour tout n naturel, le reste de la division euclidienne de 2 + 11 +16^n par 3 est égal à 1 ?
Autrement dit comment faire la division euclidienne d'un nombre avec puissance de n ?

Merci d'avance pour votre aide !!

@lysecht , bonjour,

Je trouve bizarre ce 2+11..pourquoi ne pas mettre 13 ?

Quelque chose ne va pas dans ton énoncé...

Test pour $n = 2$ :
$2+11+16^2=269$
le reste de la division euclidienne de $269$ par $3$ est $2$

Revois ton énoncé.

@lysecht ,

Remarque :
Avec les congruences, on peut prouver facilement que le reste de la division euclidienne de $13+16^n$ par $3$ est toujours $2$

$[3]13\equiv 1\ [3]$
$[3]16\equiv 1\ [3]$ donc $[3]16^n\equiv 1^n\ [3]$ donc $[3]16^n\equiv1 \ [3]$

Conclusion :
$[3]13+16^n\equiv (1+1) \ [3]$ c'est à dire $[3]13+16^n\equiv 2\ [3]$

@mtschoon Un grand merci pour votre aide !
Petite erreur de ma part cependant, il s'agissait de 2+11x16'n
Désolé !!

@lysecht , il s'agit donc de $2+11.16^n$

Tu appliques la démarche que je ''ai indiquée précédemment en utilisant les propriétés des congruences.

$[3]2\equiv 2\ [3]$
$[3]11\equiv 2\ [3]$
$[3]16^n\equiv 1\ [3]$ (expliqué dans la réponse précédente)
d'où
$[3]11\times 16^n\equiv (2\times 1)\ [3]$ c'est à dire $[3]11\times 16^n\equiv 2\ [3]$

Conclusion :
$[3]2+11.16^n\equiv (2+2)\ [3]$ c'est à dire $[3]2+11.16^n\equiv 4\ [3]$
Au final :
$[3]2+11.16^n\equiv 1\ [3]$

CQFD

Revois bien ton cours sur les congruences.