Pi. Transcendant ...

Bonjour,. Je ne comprends pas pourquoi pi est un nombre transcendant,. Donc solution d'aucune équation 'en bref ',. Comme tout nombre transcendant ... Alors qu'il est solution de l'équation C / d. ??? Merci. Je bug !!!

@sam34150 Bonjour,

Un nombre transcendant est un nombre irrationnel, réel ou complexe, qui ne peut être exprimé comme une racine d’une équation polynomiale.

Les nombres π et e sont des nombres réels irrationnels transcendants.

@Noemi merci d'avoir pris le temps de répondre. ... Mais je ne comprends pas mieux ...

@sam34150

Un lien : http://www.pi314.net/sitepdf/lindemann.PDF

Bonjour,

Je crois que je comprends (peut-être ?) ta préoccupation

Effectivement avec $C$ périmètre d'un cercle et $d$ son diamètre (non nul) : $π=Cd\pi=\dfrac{C}{d}$ mais cela ne représente pas une contradiction avec le fait que $π\pi$ soit un nombre irrationnel transcendant...

Tu d'abord, $π\pi$ est irrationnel car il ne peut pas s'écrire sous forme d'une fraction $ab\dfrac{a}{b}$ , avec a et b entiers (b non nul) .
Tu peux trouver différentes démonstrations sur le web.

Ensuite, l'égalité $π=Cd\pi=\dfrac{C}{d}$ n'est absolument pas une équation polynomiale dont $π\pi$ serait la solution .

$π\pi$ est transcendant car il ne peut pas être solution d'une équation de la forme $a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n=0$ avec n entier naturel et $a_0,a_1,a_2,...,a_n$ rationnels non tous nuls.
Tu peux trouver différentes démonstrations sur le web et Noemi t'en a indiqué une .

REMARQUE : tout nombre irrationnel n'est pas transcendant.
Exemple simple : $2\sqrt 2$

Tu peux démontrer facilement que $2\sqrt 2$ ne peut pas s'écrire sous la forme $ab\dfrac{a}{b}$ , avec a et b entiers (b non nul)
Donc $2\sqrt 2$ est irrationnel.

Par contre $2\sqrt 2$ est une solution de l'équation polynomiale $x^2-2=0$
Donc $2\sqrt 2$ n'est pas transcendant.

Conclusion : $2\sqrt 2$ est un irrationnel non transcendant.

Bonnes réflexions.