Les dérivée avec taux d'accroissement

[noasman]

Bonjour, vous pouvez m'aider dans l'exercice on nous donne ces résultats préalables:

• Si f est une fonction dérivable sur I, alors pour tout x dans I, on a lim h->0 (f(x+h)) = f(x)

• Si f et g sont deux fonctions telles que lim h->0 (f(h)) = 𝓁 et lim h->0 (g(h)) =𝓁' avec 𝓁 et 𝓁' deux réels alors:
  a. lim h->0 (f(h)g(h)) = lim h->0 (f(h)) * lim h->0 (g(h)) = 𝓁*𝓁'
  b. lim h->0 (f(h)+g(h)) = lim h->0 (f(h)) + lim h->0 (g(h)) = 𝓁+𝓁'

Ducoup l'exercice c'est:

Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I.

1. soit x ∈ I h ≠ 0 tel que x + h ∈ I. Ecrire le taux d'accroissement de la fonction uv entre x et x+h.

2. Justifier que :
   u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x) = u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x+h)+u(x)v(x+h)-u(x)v(x)

3. En déduire que:
   u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x) = v(x+h)(u(x+h)-u(x))+u(x)(v(x+h-v(x))

4. Soit x ∈ I. Avec la question 3), justifier lim h-> 0 ((u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x))/(h)) = v(x)u'(x)+u(x)v'(x) et conclure

[Noemi]

@noasman Bonjour,

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.
Le taux d'accroissement : $T=\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{x+h-x}=...$

[mtschoon]

Bonjour,

@noasman , un petit plus, si besoin,

Noemi t' a déjà rappelé la définition du taux pour répondre à la première question.
$T=\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}$

Le but de l'exercice est de démontrer la propriété relative à la dérivée d'un produit de 2 fonctions ( formule que tu apprendras par coeur ultérieurement , avec d'autres formules relatives aux dérivées usuelles).

La formule à trouver est à la question 4) ; les questions 2) et 3) sont des outils intermédiaires , en transformant le numérateur du taux $T$, pour arriver à cette formule.

Regarde bien la question 2).
Le membre de gauche est le numérateur de $T$ et dans le membre de droite $-u(x)v(x+h)+u(x)v(x+h)$ se simplifient

Regarde bien la question 3).
Le membre de gauche est encore le numérateur de $T$ et en utilisant le membre de droite de l'égalité de la question 2) et en mettant $v(x+h)$ ainsi que $u(x)$ en facteur, tu dois arriver à l'expression donnée

Piste pour la question 4)
Tu transformes $T$ en prenant pour numérateur l'expression trouvée à la 3)

$T$ peut s'écrire :
$T=\frac{v(x+h)(u(x+h)-u(x))+u(x)(v(x+h)-v(x))}{h}$
c'est à dire :
$T=v(x+h).\frac{u(x+h)-u(x)}{h}+u(x).\frac{v(x+h)-v(x)}{h}$
Il te reste à prendre la limite lorsque $h$ tend vers $0$ pour trouver la formule souhaitée.

Reposte si besoin.

[noasman]

merci beaucoup

[mtschoon]

De rien @noasman ,

J'espère que tu es arrivé à la conclusion:
$(uv{)}^{\prime }(x)=v(x)u^{\prime }(x)+u(x)v^{\prime }(x)$