Familles génératrices de vecteurs

[medou coulibaly]

Exercice :
Bonjour svp besoin d'aide de votre part.
Soit E = lR² et u = ( 1; - 2 ) v = ( 1; 3 ) w = ( -2; 4 ).Les familles ( ou systèmes ) s = { u , v ) et s' = { u , w } sont-elles des familles génératrices ( ou des systèmes générateurs ) de E ?
Je demande de l'aide svp car je bloque dessus.

[mtschoon]

@medou-coulibaly , bonjour,

Quelques pistes,

Pour savoir si {$u,v$} est une famille génératrice de $R^2$, il faut savoir si tout couple $(x,y)$ de $R^2$ peut s'écrire sous forme de combinaison linéaire de $u$ et de $v$.

On cherche donc deux réels $a$ et $b$ tels que , pour tout couple $(x,y)$ de $R^2$, on ait :
$a(1,-2)+b(1,3)=(x,y)$
En transformant le membre de gauche, on obtient
$(a+b,-2a+3b)=(x,y)$

On doit résoudre le système d'inconnues $a$et $b$ :
$\{\begin{array}{l}a+b=x\\ -2a+b=y\end{array}$

Sauf erreur, après calcul, on trouve :
$a=\frac{x-y}{3}$ et $b=\frac{2x+y}{3}$

Donc, tout couple $(x,y)$ peut se mettre sous forme de combinaison linéaire de $u$ et $v$

Conclusion : {$u,v$} est une famille génératrice de $R^2$

Pour {$u,w$} , tu appliques la même méthode mais cette fois la famille {$u,w$} ne sera pas une famille génératrice de $R^2$
Le système d'inconnues $a$ et $b$ que tu trouveras sera impossible si $-2x\ne y$ et indéterminé si $-2x=y$

Bons calculs .

[medou coulibaly]

@mtschoon merci beaucoup madame je vais travailler dessus

[medou coulibaly]

@mtschoon Madame la résolution du système je ne comprends pas bien

[medou coulibaly]

@medou-coulibaly
a + b = x
2a + b = y
a = x -y/3
b = 2x-y / 3
Je ne comprends pas la résolution de ce système

[mtschoon]

@medou-coulibaly ,
attention, c'est $-2a+b=y$

j'explicite, pour résoudre
$\{\begin{array}{l}a+b=x\\ -2a+b=y\end{array}$

Il y a différentes méthodes.

Par exemple, par substitution .
Tu isoles $b$ de la première équation et tu remplaces dans la seconde.
Ainsi, tu trouves $b$ puis tu déduis $a$

$b=x-a$
La seconde devient : $-2a+x-a=y$ <=>$-3a=y-x$
c'est à dire $a=\frac{y-x}{-3}$ <=> $\boxed{a=\frac{x-y}{3}}$

Ensuite : $b=x-a$ devient : $b=x-\frac{x-y}{3}$
c'est à dire : $b=\frac{3x-(x-y)}{3}$ <=> $b=\frac{3x-x+y}{3}$
c'est à dire $\boxed{b=\frac{2x+y}{3}}$

Remarque : ici, vu le système, pour trouver $a$ d'abord, tu peux retrancher membre à membre les deux équations, et ensuite, en déduire $b$

[medou coulibaly]

@mtschoon merci beaucoup madame je comprends la résolution maintenant

[mtschoon]

C'est très bien @medou-coulibaly

[medou coulibaly]

@mtschoon Bonjour madame pour la seconde question j'ai mal à démarrer
Pour le couple { u , w }

[Noemi]

@medou-coulibaly Bonjour,

Il suffit de suivre la méthode appliquée pour le premier cas :
On cherche deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout couple $(x,y)$ de $R^2$ :
$a(1,-2)+b(-2,4)=(x,y)$
En transformant le membre de gauche, on obtient
$(a-2b,-2a+4b)=(x,y)$

On doit résoudre le système d'inconnues $a$ et $b$ :
$\{\begin{array}{l}a-2b=x\\ -2a+4b=y\end{array}$

La réponse a été indiquée par mtschoon.

[mtschoon]

@medou-coulibaly, bonjour,

Je te conseille de refaire seul le travail pour le couple $(u,v$), en partant de l'énoncé et sans regarder l'aide , pour que tu n'aies pas de difficulté pour savoir démarrer le même type de de travail avec d'autres vecteurs.

Pour le couple $(u,w)$, comme te l'a dit Noemi, c'est exactement la même démarche c'est seulement la conclusion qui diffère.

Tu arrives à :
$\{\begin{array}{l}a-2b=x\\ -2a+4b=y\end{array}$

Ensuite, le plus simple est d'observer ce système :
en multipliant par $-2$ les deux membres de la première équation, elle devient : $-2a+4b=-2x$

Ainsi le système peux s'écrire :
$\{\begin{array}{l}-2a+4b=-2x\\ -2a+4b=y\end{array}$

D'où :
Si $-2x\ne y$ , le système est impossible
Si $-2x=y$ , le système est indéterminé ( infinité de couples $(a,b)$ solutions,
La conclusion relative à la famille $(u,w)$ a été indiquée précédemment.

Remarque : tu peux faire différemment pour résoudre ce système. Tu peux raisonner par substitution.
$\{\begin{array}{l}a-2b=x\\ -2a+4b=y\end{array}$

Da la première équation , tu isoles $a$ (c'est le plus simple):
$a=x+2b$
Tu remplaçes dans la seconde équation, qui devient :
$-2(2b+x)+4b=y$ c'est à dire, après simplifications : $-2x=y$
Donc, $a$ et $b$ ne peuvent exister que pour $-2x=y$ et non pour tout couple $(x,y)$ de $R^2$ et tu conclus de la même façon.

Evidemment, il y aurait plus simple en utilisant le "déterminant principal" du système, mais je crains que tu ne connaisses pas.
Si par hasard tu l'a vu en cours, tu peux bien sûr l'utiliser.

[medou coulibaly]

@mtschoon Bonjour madame, donc si je veux bien comprendre le S' = { u , w } n'est pas une famille génératrice ?

[medou coulibaly]

@mtschoon pour le déterminant on a vu au cours.

[mtschoon]

@medou-coulibaly ,

Effectivement, $S^{\prime }$ n'est pas une famille génératrice.

Si tu as vu le déterminant en cours, tu peux faire plus vite .

Pour le premier système à résoudre, le déterminant principal est
$D=\left|\begin{array}{c}11\\ -21\end{array}\right|=1-(-2)=3$
Donc $D\ne 0$ le système admet un couple unique de solutions $(a,b)$ .
Tu as peut-être aussi des formules (de Cramer) pour obtenir les valeurs des solutions.
$S$ famille génératrice

Pour le second système à résoudre, le déterminant principal est
$D=\left|\begin{array}{c}1-2\\ -24\end{array}\right|=0$
Donc $D=0$ le système à résoudre est impossible ou indéterminé.
$S^{\prime }$ famille non génératrice

[medou coulibaly]

@mtschoon je comprends bien avec la méthode de déterminant que vous avez faite, oui on aussi vu la méthode de cramer
Mais pour cette méthode le système doit-être non homogène

[mtschoon]

@medou-coulibaly , la méthode par déterminants (formules de Cramer) s'applique aussi bien au systèmes homogènes qu'aux systèmes non homogènes (mais avec les systèmes homogènes c'est très simple ; à condition que le déterminant principal soit non nul, (0,0) est solution)

voir lien ici :
https://membres-ljk.imag.fr/Bernard.Ycart/mel/sl/node15.html

[medou coulibaly]

@mtschoon ok merci beaucoup madame je vais lire