Calculer sin et cos de pi/12 et les racines carrés d'un nombre complexe

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Avec les racines carrées, calculer le cos π/12 et sinus π/12 Trouver de 2 manières différentes (sous la forme algébrique et exponentielle) les racines carrées : 4sqrt (3) + 4 i = 4 (sqrt(3) + i)

@loulou123 , bonsoir,

Piste pour démarrer,

$cos(π12)=cos(π3−π4)cos(\dfrac{\pi}{12})=cos(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4})$

$sin(π12)=sin(π3−π4)sin(\dfrac{\pi}{12})=sin(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4})$

Utilise les formules d'addition $c o s (a - b)$ et $s i n (a - b)$ et les sinus et cosinus des angles remarquables $π3\dfrac{\pi}{3}$ et $π4\dfrac{\pi}{4}$

Après calculs, sauf erreur, tu dois trouver:

$cos(π12)=6+24cos(\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{\sqrt 6+\sqrt 2}{4}$
$sin(π12)=6−24sin(\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{\sqrt 6-\sqrt 2}{4}$

Essaie de poursuivre.

Cette première question peut être utile pour la seconde :
Elle te permettra de passer de la forme exponentielle à la forme algébrique ( ou l'inverse ) les solutions de l'équation $z2=43+4iz^2=4\sqrt 3+4i$

Reposte si besoin.

Bonjour,

@loulou123 , j'espère que tu as maintenant abouti pour la seconde question.

Quelques pistes éventuelles pour résoudre $z2=43+4iz^2=4\sqrt 3+4i$
On a le choix, on peut mettre $4$ en facteur, ou pas

En commençant par la voie exponentielle :
Soit $z=reiθz=re^{i\theta}$ d'où $z2=r2e2iθz^2=r^2e^{2i\theta}$

$r2=∣z∣2=(43)2+42=8r^2=|z|^2=(\sqrt{4\sqrt 3)^2+4^2}=8$ donc $r=22r=2\sqrt 2$
$z2=8(32+i12)=8eiπ6z^2=8(\dfrac{\sqrt3}{2}+i\dfrac{1}{2})=8e^{i\dfrac{\pi}{6}}$

D'où :
$r^2=8$ et $2θ=π6+2kπ2\theta=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$ , $k∈Zk\in Z$
$r=22r=2\sqrt2$ et $θ=π12+kπ\theta=\dfrac{\pi}{12}+k\pi$ , $k∈Zk\in Z$

Les deux racines complexes de $43+4i4\sqrt 3+4i$ sont donc :
$z0=22eiπ12z_0=2\sqrt 2e^{i\dfrac{\pi}{12}}$
$z1=22ei13π12z_1=2\sqrt 2e^{i\dfrac{13\pi}{12}}$

On peut écrire :
$z0=22(cos(π12)+isin(π12))z_0=2\sqrt 2\biggr(cos(\dfrac{\pi}{12})+isin(\dfrac{\pi}{12})\biggr)$

$z1=22(cos(13π12)+isin(13π12))z_1=2\sqrt 2(cos(\dfrac{13\pi}{12})+isin(\dfrac{13\pi}{12})\biggr)$ , c'est à dire :
$z1=22(−cos(π12)−isin(π12))z_1=2\sqrt 2(-cos(\dfrac{\pi}{12})-isin(\dfrac{\pi}{12})\biggr)$

En utilisant les expressions trouvées à la question 1 (qui est là pour ça), on trouve la forme algébrique des solutions.

Les écritures les plus simples trouvées doivent être :
$z0=(3+1)+i(3−1)z_0=(\sqrt 3+1)+i(\sqrt 3-1)$
$z1=−(3+1)−i(3−1)z_1=-(\sqrt 3+1)-i(\sqrt 3-1)$

Vu que l'énoncé demande une seconde manière, on peut commencer directement par la voie algébrique.

$z = x + i y$
$z2=(x+iy)2=43+4iz^2=(x+iy)^2=4\sqrt 3+4i$
Après développement et identification des parties réelles entre elles et des parties imaginaires entre elles, on obtient le système :
${x2−y2=43xy=2\begin{cases}x^2-y^2=4\sqrt 3\cr xy=2\end{cases}$
Pour simplifier les calculs, on peut joindre l'égalité des modules, ce qui donne $x^2+y^2=8$

Après résolution, on retrouve les expressions de $z_0$ et $z_1$

Bonne lecture.