Etude de fonctions périodiques

[manooonnnnn]

Bonjour,
Pourriez-vous me décrire les différentes étapes à suivre, pour montrer qu'une fonction est périodique/ apériodique dans le cas de ces deux fonctions?

Merci d'avance!

[Noemi]

@manooonnnnn Bonjour,

Attention, le multipost est interdit sur ce forum. L'autre post va être supprimé.

Utilise la définition de fonction périodique.

[mtschoon]

Bonjour,

@manooonnnnn , comme te l'indique Noemi, commence par consulter la définition de ton cours.
Si besoin, regarde ici :
http://serge.mehl.free.fr/exos/periode.html

Si tu as une doute sur une fonction , je te conseille de commencer par la représenter graphiquement sur ta calculette et d'observer.

Pour la fonction $f_1$

A l'évidence, elle n'est pas périodique !

Bien que ce ne soit pas le but (car on cherche la périodicité pour restreindre l'étude d'une fonction) , tu dois pouvoir démontrer qu'elle n'est pas périodique en faisant un raisonnement par l'absurde.

[mtschoon]

Pour la fonction $f_2$

Il n'y a pas de doute.
Tu sais que la fonction sinus est $2\pi$- périodique ($2\pi$ est la période "fondamentale") et que la fonction exponentielle ne l'est pas, donc $f_2$ est périodique et la période de $f_2$ est la période de la fonction sinus.

Pour tout x réel :

$sin(x+2\pi )=sin(x)$

donc $e^{sin(x+2\pi )}=e^{sin(x)}$

donc $f_2(x+2\pi )=f_2(x)$

d'où la conclusion : $f_2$ est $2\pi$- périodique

Remarque
Lorsque tu as une fonction composée de la forme $gof$ avec $f$ de période $T$ et $g$ non périodique , $gof$ est de période $T$
C'est le cas de $f_2$

Bonne réflexion !