Etude d'une fonction avec une racine carrée

[noamii]

bonjour à tous jspr que vous allez bien !
et bah je me suis bloquée là à la question n°2 svp expliquez moi comment montrer qu'elle est positive et merci d'avance!
.
soit la fonction f définie sur R par f(x)=x+√(x²+1)

1. montre qu'elle est dérivable sur R et calculer f'(x)
   2)montrer que pour tous réel x , f'(x)>0

[Noemi]

@noamii Bonjour,

Tu as du trouver pour dérivée :
$f^{\prime }(x)=1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$
Etudie les cas $x$ supérieur puis inférieur à $0$.

[mtschoon]

Bonjour,

@noamii , j'espère que tu as réfléchi à la question.

Eventuellement, tu peux écrire :
$f^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}$

Pour tout $x$ réel, le dénominateur $\sqrt{x^2+1}$ est strictement positif.

Il te reste donc à trouver le signe du numérateur $\sqrt{x^2+1}+x$

Comme te l'a indiqué Noemi, tu fais deux cas.

1er cas : $x>0$
Tu justifies facilement que $\sqrt{x^2+1}+x>0$
(somme de 2 termes strictement positifs)
Tu peux donc déduire : $f^{\prime }(x)>0$

2ème cas : $x\le 0$, c'est à dire $-x\ge 0$
Le plus simple est peut-être de raisonner par équivalences logiques.

$\sqrt{x^2+1}+x>0$ <=> $\sqrt{x^2+1}>-x$
Les deux membres de cette inégalité étant positifs, l'élévation au carré est régulière, c'est à dire : $(\sqrt{x^2+1}{)}^2>(-x{)}^2$
Tu transformes, et au final tu doit trouver que cette dernière inégalité équivaut à $1>0$

Cette dernière inégalité étant exacte, par équivalences logiques, la première $\sqrt{x^2+1}+x>0$ l'est aussi
Tu peux donc déduire : $f^{\prime }(x)>0$

Reposte si ce n'est pas clair.