Matrices de passage dans la base canonique

Besoin d'aide svp pour cet exercice je bloque dessus. J'ai besoin d'aide de votre part.

Soit Ɓ = (1; X ; X²) la base canonique de R2[X].

Montrer que la famille B' = (X²; X²+X; X²+X + 1) est une base de R2[X].
Déterminer les matrices PƁƁ' et PƁ'Ɓ
Calculer les coordonnées du vecteur u(X) = -3+2X² ) dans la base Ɓ puis dans la base Ɓ'.
N.B : les les Ɓ et Ɓ ' sont en indices de P.
Merci beaucoup toutes vos réponses d'aide

@medou-coulibaly Bonjour, (Marque de politesse à ne pas oublier !!)

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.

Bonjour,

Effectivement @medou-coulibaly , n'oublie pas la formule de politesse comme te l'a indiquée @Noemi

@medou-coulibaly , je te donne quelques pistes pour démarrer,
J'ai toujours de l'incertitude sur le contenu de ton cours.

$R_2(X)$ est l'espace vectoriel des fonctions polynômes de degré 2 au plus, muni de la base canonique $B(ϕ0,ϕ1,ϕ2)B(\phi_0,\phi_1,\phi_2)$
avec $ϕ0(X)=1,ϕ1(X)=X,ϕ2(X)=X2\phi_0(X)=1,\phi_1(X)=X,\phi_2(X)=X^2$

Tu dois savoir que dans $R_2(X)$ , toute famille libre de trois vecteurs est une base.

Tu dois donc démontrer que $B^{'}$ est libre.

$B^{'}$ est composée de $f_0,f_1,f_2$
$f_0(X)=X^2$
$f_1(X)=X^2+X$
$f_2(X)=X^2+X+1$

Tu dois donc chercher les réels $a_0,a_1,a_2$ tels que :
$a_0f_0+a_1f_1+a_2f_2=0$

Calculs :
$a_0(X^2)+a_1(X^2+X)+a_2(X^2+X+1)=0$
c'est à dire système :
${a0+a1+a2=0a1+a2=0a2=0\begin{cases}a_0+a_1+a_2=0\cr a_1+a_2=0\cr a_2=0\end{cases}$
Après calculs, tu trouves :
$a_1=0,a_1=0, a_2=0$

Tu tires la conclusion.

Revois cela et essaie de poursuivre.

@mtschoon Bonsoir madame je lis le cours mais souvent il y a des parties que je ne comprends pas.

@medou-coulibaly , bonjour,

J'espère que l'aide du forum te permet de mieux comprendre ton cours et faire les exercices associés.

Lorsque tu auras bien assimilé la question 1), passe à la question 2)

$P_B(B')$ est la matrice de passage de $B$ à $B^{'}$

Tu dois trouver les coordonnées des vecteurs de $B^{'}$ en fonction des coordonnées des vecteurs de $B$

$f0(X)=α(1)+β(X)+γ(X2)f_0(X)=\alpha(1)+\beta(X)+\gamma(X^2)$
$f1(X)=α′(1)+β′(X)+γ′(X2)f_1(X)=\alpha'(1)+\beta'(X)+\gamma'(X^2)$
$f2(X)=α′′(1)+β′′(X)+γ′′(X2)f_2(X)=\alpha''(1)+\beta''(X)+\gamma''(X^2)$

c'est à dire :
$X2=α(1)+β(X)+γ(X2)X^2=\alpha(1)+\beta(X)+\gamma(X^2)$
$X2+X=α′(1)+β′(X)+γ′(X2)X^2+X=\alpha'(1)+\beta'(X)+\gamma'(X^2)$
$X2+X+1=α′′(1)+β′′(X)+γ′′(X2)X^2+X+1=\alpha''(1)+\beta''(X)+\gamma''(X^2)$

C'est ici assez simple, vu que tu peux faire l'identification pour trouver les coefficients sans aucun calcul (en observant)

Tu dois trouver :
$1)P_B(B')=\begin{pmatrix}0\ \ 0\ \ 1\cr 0\ \ 1 \ \ 1\cr1\ \ 1\ \ 1\end{pmatrix}$

Refais cela seul et essaie de déterminer la matrice de passage de $B^{'}$ dans $B$ , notée $P_{B'}(B)$ , en trouvant les coordonnées des vecteurs de $B$ en fonction des coordonnées des vecteurs de $B^{'}$

@mtschoon Bonjour madame j'ai compris je vais travailler dessus

@medou-coulibaly ,
OK et bon travail.

Tu peux donner la matrice $P_{B'}(B)$ lorsque tu l'auras trouvée si tu as besoin d'une vérification, ou si tu n'y arrives pas.

@mtschoon Bonjour madame

@medou-coulibaly bonjour,

Si besoin, je te donne quelques pistes pour trouver $P_{B'}(B)$

$ϕ0(X)=αf0(X)+βf1(X)+γf2(X)\phi_0(X)=\alpha f_0(X)+\beta f_1(X)+\gamma f_2(X)$

Cela donne
$1=αX2+β(X2+X)+γ(X2+X+1)1=\alpha X^2+\beta (X^2+X)+\gamma (X^2+X+1)$

En ordonnant suivant les puissances de $X$
$1=(α+β+γ)X2+X(β+γ)+γ1=(\alpha+\beta+\gamma)X^2+X(\beta+\gamma)+\gamma$
Par identification:
${α+β+γ)=0β+γ=0γ=1\begin{cases}\alpha+\beta+\gamma)=0\cr \beta+\gamma=0 \cr \gamma=1\end{cases}$

Après résolution:
$α=1,β=−1,γ=1\alpha=1,\beta=-1,\gamma=1$

Tu obtiens ainsi la première ligne de la matrice $P_{B'}(B)$

Tu pratiques de la même façon pour $ϕ1(X)\phi_1(X)$ et pour $ϕ2(X)\phi_2(X)$

Sauf erreur, tu dois ainsi trouver :
$0)P_{B'}(B)=\begin{pmatrix}\ \ 0 \ \ -1\ \ 1\cr -1\ \ \ \ 1\ \ \ \ 0\cr \ \ 1\ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ 0\end{pmatrix}$

Pour faire une vérification, tu peux utiliser une propriété qui doit être dans ton cours.
Ces deux matrices $P_{B'}(B)$ et $P_{B}(B')$ sont inverses l'une de l'autre, c'est à dire leur produit doit valoir $I_3$ , c'est à dire :
$1)P_{B'}(B)\times P_{B}(B')=\begin{pmatrix}1\ \ 0\ \ 0\cr0\ \ 1\ \ 0\cr 0\ \ 0\ \ 1\end{pmatrix}$

Bons calculs.

@mtschoon ok madame je vous ferai un retour

Bonjour @medou-coulibaly ,

D'accord.

Pour les coordonnées du vecteur $u (X)$ , dans la base $B$ , c'est immédiat.
$u(X)=-3(1)+0(X)+2(X^2)$
La matrice colonne des coordonnées de $u (X)$ dans la base $B$ est donc :
$u(B)=(−302)u_{(B)}=\begin{pmatrix}-3\cr 0\cr 2\end{pmatrix}$

Dans ton cours, tu dois trouver la procédure pour passer aux coordonnées dans la base $B^{'}$ :
$u(B′)=PB′(B)×u(B)u_{(B')}=P_{B'}(B)\times u_{(B)}$

c'est à dire :
$u(B′)=PB′(B)×(−302)u_{(B')}=P_{B'}(B)\times \begin{pmatrix}-3\cr 0\cr 2\end{pmatrix}$

Sauf erreur, après calcul, tu dois trouver :
$u(B′)=(−23−3)u_{(B')}=\begin{pmatrix}-2\cr 3\cr -3\end{pmatrix}$

Remarque

Si tu veux faire une vérification, tu peux calculer maintenant $PB(B′)×(−23−3)P_{B}(B')\times \begin{pmatrix}-2\cr 3\cr -3\end{pmatrix}$ et tu dois obtenir $u_{(B)}$ c'est-à-dire $(−302)\begin{pmatrix}-3\cr 0\cr 2\end{pmatrix}$

Bon travail.

@mtschoon ok merci beaucoup madame

@medou-coulibaly, de rien !

Je te conseille de prendre l'énoncé et de refaire seul l'exercice pour être sûr de bien le maîtriser.

@mtschoon Bonjour madame j'ai compris je vais reprendre l'exercice entier afin de mieux comprendre

C'est très bien @medou-coulibaly ,

Bon travail.