Calculer un produit scalaire


  • A

    ABCD est un parallélogramme tel que AB = 5 , AD = 4 , AC = 7 . Montrer que (vecteur AB)×(vecteur AD) = 4


  • mtschoon

    @Alanou , bonjour,

    Ici, la formule de politesse n'est pas une option.
    Il faudra y penser une autre fois.

    Graphique :
    (les cercles servent seulement à la construction)
    scalire.jpg


  • mtschoon

    @Alanou

    Une piste possible en utilisant la relation de Chasles
    AC→=AB→+BC→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}AC=AB+BC

    Vu que BC→=AD→\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}BC=AD, tu peux écrire : AC→=AB→+AD→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}AC=AB+AD

    En prenant le carré scalaire :
    (AC→)2=(AB→+AD→)2(\overrightarrow{AC})^2=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})^2(AC)2=(AB+AD)2

    En développant (et tu sais que le carré scalaire d'un vecteur est égal au carré de sa norme), tu peux écrire:
    AC2=AB2+AD2+2AB→.AD→AC^2=AB^2+AD^2+2 \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}AC2=AB2+AD2+2AB.AD

    Tu remplaces AB,AD,ACAB, AD, ACAB,AD,AC par leurs valeurs et, sauf erreur, tu obtiens la réponse souhaitée.

    Bon calcul !


  • A

    @mtschoon
    merci beaucoup . Il fallait penser au carré !


  • mtschoon

    De rien @Alanou,

    Penser au carré scalaire me semble être la meilleure des solutions.

    Mais, sans y penser, il était possible de faire le calcul de façon "traditionnelle".
    Je t'indique des pistes si tu veux faire l'exercice d'une autre manière pour t'entraîner.

    AB→.AD→=AB→.BC→=−BA→.BC→\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}AB.AD=AB.BC=BA.BC
    Donc :
    AB→.AD→=−BA×BC×cos(BA→.BC→)\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=-BA\times BC\times cos(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC})AB.AD=BA×BC×cos(BA.BC)

    Il faut trouver la valeur de cos(BA→,BC→)cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})cos(BA,BC)
    Pour cela, on peut utiliser la formule d'Al-Kashi dans le triangle ABCABCABC et on obtient, après calculs, cos(BA→,BC→)=−15cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})=-\dfrac{1}{5}cos(BA,BC)=51

    On obtient ensuite le résultat voulu.

    Cette méthode est vraiment plus "lourde", mais elle fonctionne.

    Bon travail.


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