Endomorphismes et applications linéaires

Bonjour , j'ai besoin d'aide de votre part.
Soit l'endomorphisme f de ℝ³ définit par :
f( x , y , z ) = ( 3x + y + z , 2x + 4y + 2z , x + y + 3z )

Montrer que f est une application ℝ-linéaire de ℝ³.
Déterminer la matrice A de f relativement à la base canonique ε de ℝ³.
Soit β = ( v₁ , v₂ , v₃ ) avec v₁ = ( 1, -1, 0 ), v₂ = ( 1,0 , -1 ) et v₃ = ( 1,2,1), montrer que β est une base de ℝ³.
Détermner la matrice de passage P de ε vers β.
Déduire la matrice D de f relativement à la base β.
Proposer une autre façon de calculer la matrice D.
Montrer que -A³ + 10A² - 28A + 24I₃ est la matrice carré nulle d'ordre trois.
Déduire de la question 7 la matrice inverse A⁻¹ de A.
Déterminer le noyau de f.
Déterminer le rang de f.
J'ai besoin d'aide de votre part

@medou-coulibaly Bonjour,

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.

@medou-coulibaly , bonjour/bonsoir,

je te donne quelques pistes pour démarrer,

Pour le 1), tu peux faire le calcul par combinaison linéaire, mais c'est plus clair de décomposer le travail en deux parties.

A) Soit $x_1,y_1,z_1)$ et $x_2,y_2,z_2)$ deux éléments quelconques de $R^3$
$x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2)=(x_1+x_2, y_1+y_2,z_1+z_2)$

Tu dois prouver que :
$f((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2))=f(x1,y1,z1)+f(x2,y2,z2)\boxed{f((x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2))=f(x_1,y_1,z_1)+f(x_2,y_2,z_2)}$

B) Soit $(x, y, z)$ un élément quelconque de $R^3$ et $α\alpha$ un réel quelconque
$α(x,y,z)=(αx,αy,αz)\alpha(x,y,z)=(\alpha x, \alpha y,\alpha z)$

Tu dois prouver que :
$f(α(x,y,z))=αf(x,y,z)\boxed{f(\alpha (x,y,z))=\alpha f(x,y,z)}$

Les calculs sont assez simples.
Je pense que tu va y arriver.

Essaie de poursuivre.

@mtschoon ![text alternatif](url de l'image![0_1680677031912_20230405_063152.jpg](Envoi en cours 100%) )

@mtschoon ![text alternatif](url de l'image![0_1680677199933_20230405_063121.jpg](Envoi en cours 100%) )

@mtschoon ![text alternatif](url de l'image![0_1680677301585_20230405_063121.jpg](Envoi en cours 100%) )

@mtschoon Bonjour madame j'ai pu faire la partie A et B

@medou-coulibaly , bonjour,

Tes images ne sont pas visibles.
Si tu as fait les démonstrations A et B, tu peux passer à la question 2)

Soit $ϵ\epsilon$ la base canonique
$ϵ=(e1,e2,e3)\epsilon=(e_1,e_2,e_3)$ avec $e_1=(1,0,0)$ , $e_2=(0.1.0)$ et $e_3=(0,0,1)$
Tu calcules $f(e_1), f(e_2), f(e_3)$ et tu mets les éléments en colonnes pour écrire la matrice $A$

@mtschoon Madame comment faire pour charger l'image

@mtschoon Madame je ne comprends pas bien la votre explication de la question 2

@medou-coulibaly ,

@medou-coulibaly a dit dans Endomorphismes et applications linéaires :

@mtschoon Madame comment faire pour charger l'image

je ne peux te répondre qu'avec PC...

Tu cliques sur l'icone "Envoyer une image " ( à droite, au-dessus du cadre texte)
Tu sélectionnes l'image (.jpg) qui est sur ton disque dur et tu cliques sur "ouvrir"

@medou-coulibaly a dit dans Endomorphismes et applications linéaires :

@mtschoon Madame je ne comprends pas bien la votre explication de la question 2

Tu calcules $f(e_1)=f(1,0,0)$
Tu dois trouver $f(e_1)=(3,2,1)$

Tu appliques la même démarche pour $f(e_2)$ et $f(e_3)$

Tu mets en colonnes, et tu dois trouver, sans erreur
$3)A=\begin{pmatrix}3\ 1\ 1\cr 2\ 4\ 2\cr 1\ 1\ 3\end{pmatrix}$

@mtschoon ok d'accord merci.

@mtschoon ok d'accord je vais essayer

@medou-coulibaly a dit dans Endomorphismes et applications linéaires :

@mtschoon ok d'accord je vais essayer

J'ai pu effectivement trouver A.

@mtschoon Madame je pense que pour la 3) je dois passer par le déterminant

@medou-coulibaly ,

Pour la 3) , tu démontres que la famille $β\beta$ est libre ( tu as fait ce type de calcul dans d'autres exercices).

Comme tu es dans $R^3$ , espace vectoriel de dimension $3$ , par théorème, toute famille libre de 3 vecteurs est une base (donc tu n'as pas besoin de démontrer que la famille est génératrice).

@mtschoon merci beaucoup madame je vais faire

@medou-coulibaly a dit dans Endomorphismes et applications linéaires :

@mtschoon merci beaucoup madame je vais faire

Bonjour madame

@medou-coulibaly , bonjour,

J'espère que tu as bien avancé dans ton exercice.

Reposte si une question te pose problème.

@mtschoon Bonjour madame je suis au niveau de la 4 )

@medou-coulibaly ,

Pour la question 4), tu n'as pratiquement rien à faire

Tu mets les coordonnées de $v_1,v_2,v_3$ en colonnes pour former $P$

Remarque :
Je te conseille de faire des petites fiches de révisions, où tu mettrais les propriétés du cours et méthodes à retenir , pour pouvoir les revoir régulièrement (car j'ai l'impression qu'après avoir compris une méthode, tu as tendance à l'oublier).

@mtschoon merci beaucoup madame j'ai compris je vais le faire sinon j'oublie toujours les mêmes propriétés et méthodes

@mtschoon
Pεβ
v₁ = ( 1 , -1 ,0 ) = 1e₁ - 1e₂ + 0e₃
v₂ = ( 1,0, -1 ) = 1e₁ + 0e₂ -1e₃
v₃= ( 1,2 ,1 ) =1e₂ + 2e₂ + 1e₃

Pεβ =
( 1 1 1 )
( -1 0 2 )
( 0 -1 1 )
madame ce que je trouve mais je ne sûr pas sûr

@mtschoon a dit dans Endomorphismes et applications linéaires :

@medou-coulibaly ,

Pour la question 4), tu n'as pratiquement rien à faire

Tu mets les coordonnées de $v_1,v_2,v_3$ en colonnes pour former $P$

Remarque :
Je te conseille de faire des petites fiches de révisions, où tu mettrais les propriétés du cours et méthodes à retenir , pour pouvoir les revoir régulièrement (car j'ai l'impression qu'après avoir compris une méthode, tu as tendance à l'oublier).

Avec mon portable je n'arrive pas à mettre les coordonnées en colonnes

@medou-coulibaly ,

La matrice de passage $P$ que tu donnes est bonne.

@mtschoon oui madame maintenant la 5 )

@mtschoon Aussi je suis là prendre note dans le cours sur les propriétés et méthodes car j'oublie à chaque moment

@mtschoon Bonjour madame la question 5 je bloque dessus

@medou-coulibaly , boujour,

Pistes pour la 5)

L'énoncé précise "en déduire".
Tu dois donc utiliser les résultats des questions précédentes.

Dans les questions précédentes, tu connais :
$A$ matrice de $f$ dans la base $ϵ\epsilon$
$P$ matrice de passage de la base $ϵ\epsilon$ à la base $β\beta$

Tu cherches la matrice D de $f$ dans la base $β\beta$

Tu ne dois pas être bloqué, car tu dois avoir la propriété utile dans ton cours :
$D=P−1×A×P\boxed{D=P^{-1}\times A \times P}$

Tu dois donc calculer $P^{-1}$
Pour cela tu peux utiliser la méthode expliquée dans un topic que tu as posté récemment .
Il y a plusieurs façons, alors, tu peux aussi utiliser une autre méthode de ton cours si ce n'est pas la même.

Ensuite, pour obtenir $D$ , tu calcules
$(P−1×A)×P(P^{-1}\times A) \times P$ ou bien $P−1×(A×P)P^{-1}\times (A \times P)$ , ce qui revient au même car la multiplication matricielle est associative.

Pour que tu puisses vérifier ta réponse, je t'indique la valeur à obtenir pour $D$ :

Sauf erreur :

$6)D=\begin{pmatrix}2\ \ 0\ \ 0\cr0\ \ 2\ \ 0\cr0\ \ 0\ \ 6\end{pmatrix}$

@medou-coulibaly , j'ignore si avec ton portable tu peux utiliser ce site, mais à tout hasard, je te l'indique.

C'est un calculateur en ligne.
Je le pense fiable et il permet d'obtenir les résultats de calculs, pour que tu puisses vérifier les tiens.

https://www.dcode.fr/simplification-mathematique

Dans la case "mot-clé" tu indiques ce que tu cherches :
Par exemple "matrice".
Dans la liste qui s'ouvre, tu choisis :
Par exemple "calcul matriciel"

@mtschoon Bonjour madame j'ai pu faire je trouve les mêmes coordonnées que vous

@mtschoon j'ai pu ouvrir le site avec mon portable mais c'est un peu difficile à utiliser car le portable est petit.merci beaucoup madame

@mtschoon Bonsoir madame je suis sur la 6) bon ici je ne comprends rien même j'ai vraiment des difficultés à cette.

@medou-coulibaly ,

Une autre méthode t'est demandée pour trouver $D$

Au lieu d'utiliser le changement de bases relatif aux matrices (question 5), tu utilises le changement de bases relatif aux vecteurs.

Rappel :
$XϵX_\epsilon$ : vecteur colonne de $R^3$ en base $ϵ\epsilon$
$XβX_\beta$ : vecteur colonne de $R^3$ en base $β\beta$
$P$ matrice de passage de $ϵ\epsilon$ à $β\beta$
$P^{-1}$ matrice de passage de $β\beta$ à $ϵ\epsilon$
$Xϵ=P×Xβ\boxed{X_{\epsilon}=P\times X_{\beta}}$ et $Xβ=P−1×Xϵ\boxed{X_{\beta}=P^{-1}\times X_{\epsilon}}$

Si tu fais des fiches de synthèse, cela doit y figurer

Ici, après calculs, en base $ϵ\epsilon$
$f(e_1)=(2,-2,0)$
$f(e_2)=(2,0,-2)$
$f(e_3)=(6,-12,6)$

$P−1×(2−20)P^{-1}\times \begin{pmatrix}2\cr -2\cr 0\end{pmatrix}$ te donne la première colonne de $D$
$P−1×(20−2)P^{-1}\times \begin{pmatrix}2\cr 0\cr -2\end{pmatrix}$ te donne la deuxième colonne de $D$
$P−1×(6126)P^{-1}\times \begin{pmatrix}6\cr 12\cr 6\end{pmatrix}$ te donne la troisième colonne de $D$

Sauf erreur, tu dois retrouver la matrice $D$ (trouvée à la question 5)

@mtschoon Bonjour madame je vais essayer

@medou-coulibaly a dit dans Endomorphismes et applications linéaires :

@mtschoon Bonjour madame je vais essayer

Madame je n'arrive pas à avoir une issue

@medou-coulibaly , tu as calculé $P^{-1}$ à question précédente (vu que tu as dit être arrivé à faire la question précédente).

Tu dois savoir multiplier une matrice carrée par une matrice colonne , d'où les réponses.

Pour la première colonne de $D$ , tu dois trouver $(200)\begin{pmatrix} 2\cr 0\cr 0\end{pmatrix}$

Pour la deuxième colonne de $D$ , tu dois trouver $(020)\begin{pmatrix} 0\cr 2\cr 0\end{pmatrix}$

Pour la troisième colonne de $D$ , tu dois trouver $(006)\begin{pmatrix} 0\cr 0\cr 6\end{pmatrix}$

Je ne comprends pas où peut être ta difficulté.

@medou-coulibaly ,

Si besoin, je te donne $P^{-1}$

Pour simplifier l'écriture, je mets $14\dfrac{1}{4}$ en facteur.
$1)P^{-1}=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}2\ -2\ \ \ 2\cr 1\ \ \ \ \ 1\ -3\cr 1\ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ 1\end{pmatrix}$

@mtschoon a dit dans Endomorphismes et applications linéaires :

@medou-coulibaly , tu as calculé $P^{-1}$ à question précédente (vu que tu as dit être arrivé à faire la question précédente).

Tu dois savoir multiplier une matrice carrée par une matrice colonne , d'où les réponses.

Pour la première colonne de $D$ , tu dois trouver $(200)\begin{pmatrix} 2\cr 0\cr 0\end{pmatrix}$

Pour la deuxième colonne de $D$ , tu dois trouver $(020)\begin{pmatrix} 0\cr 2\cr 0\end{pmatrix}$

Pour la troisième colonne de $D$ , tu dois trouver $(006)\begin{pmatrix} 0\cr 0\cr 6\end{pmatrix}$

Je ne comprends pas où peut être ta difficulté.

Je vais revoir mes calculs

@mtschoon a dit dans Endomorphismes et applications linéaires :

@medou-coulibaly ,

Si besoin, je te donne $P^{-1}$

Pour simplifier l'écriture, je mets $14\dfrac{1}{4}$ en facteur.
$1)P^{-1}=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}2\ -2\ \ \ 2\cr 1\ \ \ \ \ 1\ -3\cr 1\ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ 1\end{pmatrix}$

Ok merci bien je vais retravailler dessus

@medou-coulibaly a dit dans Endomorphismes et applications linéaires :

@mtschoon a dit dans Endomorphismes et applications linéaires :

@medou-coulibaly ,

Si besoin, je te donne $P^{-1}$

Pour simplifier l'écriture, je mets $14\dfrac{1}{4}$ en facteur.
$1)P^{-1}=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}2\ -2\ \ \ 2\cr 1\ \ \ \ \ 1\ -3\cr 1\ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ 1\end{pmatrix}$

Ok merci bien je vais retravailler dessus

Bonjour madame j'ai fait et j'ai pu trouver maintenant

@medou-coulibaly a dit dans Endomorphismes et applications linéaires :

@medou-coulibaly a dit dans Endomorphismes et applications linéaires :

@mtschoon a dit dans Endomorphismes et applications linéaires :

@medou-coulibaly ,

Si besoin, je te donne $P^{-1}$

Pour simplifier l'écriture, je mets $14\dfrac{1}{4}$ en facteur.
$1)P^{-1}=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}2\ -2\ \ \ 2\cr 1\ \ \ \ \ 1\ -3\cr 1\ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ 1\end{pmatrix}$

Ok merci bien je vais retravailler dessus

Bonjour madame j'ai fait et j'ai pu trouver maintenant

Merci beaucoup madame 🥰

@medou-coulibaly , c'est bien.

@mtschoon a dit dans Endomorphismes et applications linéaires :

@medou-coulibaly , c'est bien.

Bonjour madame la question 6)

@medou-coulibaly ,

La question 6) est faite .

Je pense que tu parles de la question 7)
C'est exclusivement du calcul matriciel.

Tu prends la matrice $A$ écrite vers le début de ce topic et tu calcules ce qui t'est demandé:
$A^3) + 10(A^2) - 28(A) + 24(I_3)$
Vu que le calcul est assez fastidieux, le résultat est donné dans l'énoncé.
Tu dois trouver la matrice carré nulle d'ordre trois.

Pour vérifier les calculs intermédiaires, tu peux utiliser le calculateur en ligne que je t'ai indiqué.

Le but de cette question 7) est de trouver, à la question 8), $A^{-1}$ de façon très "originale" .

@mtschoon Bonjour madame j'ai du mal à démarrer

@medou-coulibaly , bonjour,
Pour la 7), c'est exclusivement du calcul matriciel.
Je t'indique la démarche,

a) tu connais la matrice $A$
En multipliant par $- 28$ , tu obtiens $- 28 A$

b) tu connais la matrice $A$
Tu calcules $A×AA\times A$ et tu trouves ainsi $A^2$
En multipliant ce résultat par $10$ tu obtiens $10A^2$

c) tu connais la matrice $A^2$
Tu calcules $A2×AA^2 \times A$ et tu trouves ainsi $A^3$
En multipliant ce résultat par $- 1$ tu obtiens $A^3$

d) tu connais $I_3$ (voir cours)
En multipliant par $24$ tu obtiens $24I_3$

e) En ajoutant toutes les matrices obtenues, tu dois trouver la matrice nulle (composée que de $0$ )
Si tu ne trouves pas la matrice nulle, tu recomptes...

@mtschoon Bonjour madame je vais travailler dessus

@mtschoon Bonsoir madame je n'y parviens pas à trouver une issue

@medou-coulibaly bonjour,

Je te mets quelques résultats intermédiaires pour que tu puisses vérifier et terminer , mais si tu n'aboutis toujours pas, ne perds pas ton temps, contente toi de comprendre la démarche indiquée et surtout, essaie de voir à quoi sert cette formule pour trouver $A^{-1}$ à la question 8

$3)A=\begin{pmatrix}3\ 1\ 1\cr2\ 4\ 2\cr 1\ 1\ 3\end{pmatrix}\ \ \ \ \ A^2=4\begin{pmatrix}3\ 2\ 2\cr 4\ 5\ 4\cr 2\ 2\ 3\end{pmatrix}$

$1)A^3=4\begin{pmatrix}15\ 13\ 13\cr 26\ 28\ 26\cr 13\ 13\ 15\end{pmatrix}\ \ \ \ \ I_3=\begin{pmatrix}1\ 0\ 0\cr 0\ 1\ 0\cr 0\ 0\ 1\end{pmatrix}$

@mtschoon Bonjour madame je vais travailler dessus merci beaucoup la piste

@medou-coulibaly , bonjour,

Si besoin, je te donne des pistes au sujet du calcul (original) de $A{-1}$

Avec la formule de la 7), tu peux écrire :
$A^3-10A^2+28=24I_3$

$124(A3−10A2+28)=I3\dfrac{1}{24}(A^3-10A^2+28)=I_3$

$124(A2−10A+28)×A=I3\dfrac{1}{24}(A^2-10A+28)\times A=I_3$

Conclusion : $A−1=124(A2−10A+28)\boxed{A^{-1}=\dfrac{1}{24}(A^2-10A+28)}$

En remplaçant $A$ et $A^2$ par leurs valeurs, après calcul, sauf erreur, tu dois trouver :
$5)A^{-1}=\dfrac{1}{12}\begin{pmatrix}\ \ \ \ 5\ -1\ -1\cr -2\ \ \ \ \ \ 4\ -1\cr -1\ -1\ \ \ \ \ 5\end{pmatrix}$

Pour t'entraïner et pour vérifier, tu peux calculer $A^{-1}$ par une méthode usuelle (voir autre topic et ton cours) pour t'assurer que tu trouves pareil .

En ce qui concerne les questions 9) et 10), tu peux te ramener à un autre topic et à ton cours pour noyau, Image et rang=dim(Im(f)).

Je pense qu'on a fait, à peu près, le tour de cet exercice.

Bon travail, @medou-coulibaly .

@mtschoon Bonjour madame pour le noyau, le rang et la dimension je n'y parviens pas à le faire

@medou-coulibaly , bonjour,

Seulement des pistes rapides car noyau et image ont été expliqués dans un autre topic (à revoir)

${3x+y+z=02x+4y+2z=0x+y+3z=0\begin{cases}3x+y+z=0\cr 2x+4y+2z=0\cr x+y+3z=0\end{cases}$

Après résolution, on trouve $x = 0, y = 0, z = 0$

Donc $K e r (f) =$ { $(0, 0, 0$ ) } donc $d i m (K e r (f)) = 0$

$dim(Im(f))+dim(Ker(f))=dim R^3$
$d i m (I m (f)) + 0 = 3$
$d i m (I m (f)) = 3$ donc $Im(f)=R^3$
$r a n d (f) = d i m (I m (f)) = 3$

@mtschoon merci beaucoup madame pour votre aide 🥰