théorème de Bézout arithmétique

[Luukao _]

bonjour je vous donne mon sujet car je ne comprends pas trop, je trouve une solution qui fonctionne mais ce n'est pas la plus petite .Donc je ne comprends vraiment pas comment faire.

Une sauterelle se déplace le long d'une droite. Elle sait faire des sauts de $11cm$ et des sauts de $17cm$, chacun dans les deux sens (vers la droite ou vers la gauche). Après un certain nombre de ces sauts, elle se retrouve à exactement $9$ centimètres de son point de départ. Combien a-t-elle fait de sauts, au minimum ?

[Noemi]

@Luukao-_ Bonsoir,

Résous l'équation $11x+17y=9$

[Luukao _]

@Noemi Bonjour, la résolution de cette équation est $-27\ast 11+17\ast 18=9$
mais je trouve donc 45 pour la somme or il y a une réponse inferieur a celle si mais je ne la trouve pas

[mtschoon]

Bonjour,

@Luukao-_ , tu n'as pas résolu l'équation diophantienne 11x+17y=9, tu as seulement trouvé une solution particulière.

Etudie ton cours sur les équations diophantiennes ( ou consulte des sites sur le web).

Si besoin, regarde la vidéo ici ;
https://www.youtube.com/watch?v=XpYK-F4hX24

Tu obtiendras ainsi les valeurs solutions de x et y en fonction d'un entier quelconque $k$ :
$x=f(k)$ et $y=g(k)$

Ensuite, pour trouver le nombre minimum de sauts pour répondre à la question, il te faudra trouver la valeur minimale de $|x|+|y|=|f(k)|+|g(k)|$, en étudiant la fonction $h$ définie par $h(k)=|f(k)|+|g(k)|$

Bons calculs.
Tu peux donner tes résultats si tu le souhaites.

[Luukao _]

@mtschoon merci c'est bon j'ai trouvé le couple est $(7,-4)$ je n'avait pas penser a minimiser mes solutions

[mtschoon]

@Luukao-_ , oui, le nombre minimal de sauts est 11