Equation modulaire reste chinois

[Luukao _]

bonjour je vous expose mon problème, je sais que pour le résoudre il faut utiliser le théorème des restes chinois mais je n'arrive pas a trouver la solution.

Quel $x\in 0,1,\dots ,1000$ vérifie

$x\equiv 5(mod7)$
$x\equiv 9(mod11)$
$x\equiv 11(mod13)$ ?

merci de votre aide futur .

[Noemi]

@Luukao-_ Bonjour,

Quelle formulation as-tu dans le cours sur le théorème des restes chinois ?
Quel est le modulo du système ?

[Luukao _]

bonsoir dans le cours j'ai :
Si $n1,n2,\dots ,nk$ sont des nombres premiers entre eux deux à deux, et si $a1,a2,\dots ,ak$ sont des nombres entiers, alors il existe un unique $x$ modulo $n1\cdot \dots \cdot nk$ tel que
$x\equiv a1(modn1)$
$x\equiv a2(modn2)$
.
.
.
$x\equiv ak(modnk)$

et je ne sais pas quel est le modulo du système je ne comprends pas trop ce que cela veut dire.

[Noemi]

@Luukao-_

Il manque la suite du cours.
Le modulo du système est le produit des modulo.

Un cours avec un exemple : https://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./c/chinois.html

[Luukao _]

En utilisant la méthode proposée sur le site je me trouve avec un nombre très grand, or il doit être inférieur à $1000$

$Mi=M/m$ donc $M$ = $7\ast 11\ast 13$ = $1001$ d'ou $M1$=$143$ , $M2$=$91$ et $M3$=$77$
De plus je trouve que $y1$=$5$ ,$y2$=$4$ et $y3$ =$12$
$⟹$ $x$= $5\ast 143\ast 5+9\ast 91\ast 4+11\ast 77\ast 12$
Je ne comprends pas trop la.

[Luukao _]

@Luukao-_ J'ai trouvé car le résultat est modulo 1001 donc on peut le réduire merci de cette aide le résultat fini est 999

[Noemi]

@Luukao-_
C'est correct, après vérification :
$y_1=5$ ; $y_2=4$; $y_3=12$ ou $-1$ et pour résultat final 999.

[Luukao _]

@Noemi Le résultat doit être correct car je trouve le même que mes camarades .

[Noemi]

@Luukao-_

Oui c'est moi qui est fait une erreur de calcul.