Etude d'une fonction avec exponentielle


  • lifiozor

    Bonjour à toute la commu 😄

    J'ai besoin d'aide s'il vous plaît, je bloque sur la deuxième question ... (je vous met le début et l'ennoncé)

    Ennoncé :
    Soit f la fonction définie sur R par : f(x)= e^2x - 2e^x + 3

    1. Calculer f'(x)
    2. Montrer que f'(x) est du signe de e^x - 1
    3. En déduire les variations de la fonctions f.

    Pour la première question j'ai mis que f'(x) = 2e^2x - 2e^x car on sait que pour f(x)=e^kx on a f'(x)=ke^kx

    Merci par avance de votre aide pour les deux autres questions 😃


  • mtschoon

    @lifiozor , bonjour,

    La dérivée que tu donnes est bonne, il suffit de la factoriser pour trouver le résultat de la 2)

    f′(x)=2e2x−2ex=2ex(ex−1)f'(x)=2e^{2x}-2e^x=2e^x(e^x-1)f(x)=2e2x2ex=2ex(ex1)

    Pour tout xxx réel, ex>0e^x\gt 0ex>0 donc f′(x)f'(x)f(x) est du signe de ex−1e^x-1ex1

    Pour trouver les variations de fff, il faut que tu trouves la signe de f′(x)f'(x)f(x), c'est à dire de ex−1e^x-1ex1

    f′(x)=0f'(x)=0f(x)=0 <=> ex−1=0e^x-1=0ex1=0 <=> ex=1e^x=1ex=1 <=> x=0x=0x=0
    f′(x)>0f'(x)\gt 0f(x)>0 <=> ex−1>0e^x-1\gt 0ex1>0 <=> ex>1e^x\gt 1ex>1 <=> x>0x\gt 0x>0
    f′(x)<0f'(x)\lt 0f(x)<0 <=> ex−1<0e^x-1\lt 0ex1<0 <=> ex<1e^x\lt 1ex<1 <=> x<0x\lt 0x<0

    Tu poursuis.