arithmétiques nombres premiers

bonjour je n'arrive pas démontrer cela j'ai essayé en utilisant le fais qu'un nombre premier possède seulement 2 diviseurs mais en vain

Prouver que si $p$ et $p^2+8$ sont premiers, alors $p^3+8p+2$ également.

@Luukao-_ Bonsoir,

Tu as un exercice similaire corrigé (exercice 7) sur : http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00096.pdf

@Noemi le problème est que je ne connais pas $3Z3\mathbb{Z}$ donc je ne peux pas comprendre la correction .

@Luukao-_

Quelles sont les valeurs possibles pour $p$ afin que $p$ et $p^2+8$ soient premiers ?

les valeurs possibles sont : $p$ est premier pour $3^2 +8=17$ est bien un nombre premier.
$9^2+8=89$ ... $25^2+8=223$ est premier également, ainsi
toutes les valeurs de $p$ sont : $3 + 6 k$

@Luukao-_

Attention $p$ est premier, donc tu ne peux pas prendre 9 ou 25 comme valeur pour $p$ .
Calcule avec 5, 7, 11, 13, ....
En fait une seule valeur possible pour $p$ , c'est 3.
Il faut montrer que si $p≥5p\ge 5$ alors $p^2+8$ est un multiple de 3.

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Merci je vais essayer de montrer cela

je ne sais pas si ma démonstration est correcte: Mais je vous la donne quand même.

pour tout $p$ $≥\geq$ $5$
on a $3$ | $p^2+8$
et $3$ | $3$

donc $3$ divise toutes combinaisons linéaire de $3$ et de $p^2+8$
$⇒\Rightarrow$ $3$ | $a(p^2+8) + b(3)$
$⇔\Leftrightarrow$ $3$ | $3p^2 +24 -3p^2$ avec $a=3 et b=-p^2$
$⇔\Leftrightarrow$ $3$ | $24$

c'est donc vrai , il vient que pour tout $p$ $≥\geq$ $5$ $p^2 + 8$ est un multiple de $3$

Bonjour,

@Luukao-_ , je regarde la démonstration que tu proposes.

Elle ne parait pas correct, car tu pars de $3| (p^2+8)$ alors que c'est ce que tu veux démontrer...
Tu as seulement fait une vérification (qu'il n'y ait pas de contradiction)

Une piste possible,

Je te suggère de travailler modulo 3, $p$ étant un nombre premier, $p≥5p\ge 5$

3 cas à envisager :
a) $[3]p\equiv 0\ [3]$
b) $[3]p\equiv 1\ [3]$
c) $[3]p\equiv 2\ [3]$ c'est à dire $[3]p\equiv -1\ [3]$

Le cas a) est impossible car p divisible par 3 et supérieur à $5$ ne peut pas être premier

2 ) $[3]p\equiv 1\ [3]$ donc $p2≡1[3]p^2 \equiv 1 [3]$
or $[3]8\equiv -1\ [3]$ donc $[3]p^2+8\equiv0\ [3]$
C'est OK

Tu traites de la même façon le cas c )

pour la c) on utilise la même méthode :

$p$ $≡\equiv$ $- 1$ $m o d (3)$
$⇒\Rightarrow$ $p^2$ $≡\equiv$ $1$ $m o d (3)$ or $8$ $≡\equiv$ $- 1$ $m o d (3)$
donc: $p^2+8$ $≡\equiv$ $0$ $m o d (3)$

c'est ok également.

@Luukao-_

C'est correct, tu peux conclure.

@Luukao-_ ,

Oui c'est bon comme vient de te le dire Noemi.
La démonstration que tu avais proposée aurait convenu si tu avais pu faire la démonstration totalement par équivalences logiques ( mais ce n'était pas le cas).

la seule valeur de $p$ possible est $3$ donc vérifions si cela coïncide avec la question du départ:

$p^3 +8p +2$ avec $p$ = $3$
$3^3 +8*3 +2$ = $53$
$53$ étant premier on en déduit donc que si $p$ et $p^2 +8$ sont premier alors $p^3+8p+2$ également

Merci pour votre aide crucial bonne soirée

De rien @Luukao-_ .
Nous faisons au mieux .
Bonne journée à toi.