Exercice trigonométrie

[Maxime 174]

Bonjour j'ai un exercice j'ai un exercice de trigonométrie que je n'arrive pas à terminer.
On donne les expressions tel que P=cos⁴(x)-sin⁴(x), Q=cos⁴(x)+sin⁴(x) et R=cos³(x).
Écrire P et Q en fonction de cos2x et sin2x puis démontre que R=1/4×cos3x+3/4×cosx
Reposes

1. P= cos⁴(x)-sin⁴(x)
   =(Cos²x-sin²x)(cos²x+sin²x)
   =Cos²x-sin²x
   =2cos(2x)/2
   P=cos(2x)
2. Q=cos⁴x+sin⁴x
   =(Cos²x+sin²x)²
   =(cos²x)²+(sin²x)²+2cos²x(sin²x)
   Q=1+2cos²xsin²x
   Et c'est là que je me suis arrêté

[mtschoon]

@Maxime-174 , bonjour,

OK pour $P$

Pour $Q$, je vois une erreur dans ton calcul
$co{s}^{4}x+si{n}^{4}x$ ne vaut par $(co{s}^{2}x+si{n}^{2}x{)}^2$ car il n'y a pas le double produit.
$(co{s}^{2}x+si{n}^{2}x{)}^2=co{s}^{4}x+si{n}^{4}x+2si{n}^{2}xco{s}^{2}x$
donc :
$1=co{s}^{4}x+si{n}^{4}x+2si{n}^{2}co{s}^{2}x$
donc
$Q=co{s}^{4}x+si{n}^{4}x=1-2si{n}^{2}xco{s}^{2}x$

Ensuite , tu transformes $2si{n}^{2}xco{s}^{2}x$
Par exemple :
$sinxcosx=\frac{1}{2}sin(2x)$
$si{n}^{2}xco{s}^{2}x=\frac{1}{4}si{n}^2(2x)$

[Maxime 174]

@mtschoon bonsoir
Je comprends mieux vos explications
J'aimerais que vous m'expliquez pour le R aussi

[mtschoon]

@Maxime-174 ,

Pour $R$, il s'agit de "linéariser" $co{s}^3(x)$

En Terminale tu auras la formule d'Euler (avec les nombres complexes) qui permet de faire une transformation claire.
Comme tu ne l'a pas, il va falloir s'y prendre autrement...

Par exemple :
$co{s}^{3}x=co{s}^{2}x.cosx=\frac{1+cos(2x)}{2}.cosx$
donc
$co{s}^{3}x=\frac{1}{2}cosx+\frac{1}{2}cos(2x)cosx$

Pour transformer $cos(2x)cosx$,tu utilises les formules d'addition/soustraction
$cos(a+b)=cosacosb-sinasinb$
$cos(a-b)=cosacosb+sinasinb$
En ajoutant membre à membre et en divisant par $2$:
$cosacosb=\frac{1}{2}(cos(a+b)+cos(a-b))$

Tu pourras ainsi transformer $cos(2x)cosx$ et aboutir.

[Maxime 174]

@mtschoon bonsoir
Merci beaucoup pour votre aide

[Maxime 174]

@Maxime-174 .
Rebonsoir.
Pour le sin⁴(x)=sin²(x)sin²(x)
=1-cos(2x)/2 (1-cos(2x)/2)
=1-2cos(2x)+cos²(2x)/2
Arrivé ici encore je suis bloqué

[mtschoon]

@Maxime-174 , bonsoir
Pour $si{n}^{4}x$, il faut préciser ta question...

[Maxime 174]

@mtschoon bonsoir
Il faut démontrer que sin⁴x=3/8+1/8cos(4x)-1/2cos(2x).

[mtschoon]

@Maxime-174 , d'accord,

Par exemple

$si{n}^{4}x=(si{n}^{2}x{)}^2=(\frac{1-cos(2x)}{2}{)}^2$

$si{n}^{4}x=(\frac{1-2cos(2x)+co{s}^2(2x)}{2}{)}^2$

$si{n}^{4}x=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}cos(2x)+\frac{1}{4}co{s}^2(2x)$

Tu remplaces $co{s}^2(2x)$ par $\frac{1+cos(4x)}{2}$ et tu dois obtenir le résultat voulu.