DM : Calcule d'intégrale

[medou coulibaly]

Bonjour comment vous allez.
J'ai un DM que j'aimerais besoin d'aide de vôtre part.
Exercice :

1. Soit a ∈ ℝ*+ et soit f : [0;a] ---> ℝ*+ une fonction continue.
   ∫( 0 à a ) ƒ(x) / ( ƒ(x)+ƒ(a - x ) ) dx

Application : calculer :
ƒ( 0 à π/2 ) ( cos x)^sinx / (cosx ) ^sinx + ( sinx ) ^ cosx dx
2 ) Calculer I = ∫ √ ( 3-thx / thx +
+1) dx ( ici c'est grande racine et la racine prend en compte 3-thx / thx +1 )
3 )Calculer J = ∫ 3x+4 / ( x²+x +1 )³ dx
Besoin d'aide svp

[medou coulibaly]

@medou-coulibaly
La question 1) il s'agit de calculer
Je pense qu'avec ce site je rencontre maintenant des problèmes car si je poste un exercice, après un instant et que je veux modifier quelque chose dans mon poste , on m'écrit en rouge que je peux pas modifier quelque chose dans mon poste qu'après " 3600 s " et même si 24h passe et que je reviens corriger la faute dans le poste , on m'écrit la même chose que je ne peux pas modifier quelque chose dans le poste " 3600 s "
Vraiment ça me dérange et je déteste car lors de la saisie , il peut y avoir des erreurs de frappe.
Il faudrait que les modérateurs revoyent cela, car au moment qu'on veut poster un exercice, il peut y des erreurs de frappe.

[Noemi]

@medou-coulibaly Bonjour,

Normalement, tu dois pouvoir éditer puis modifier les sujets que tu as proposés. Si tu rencontres des problèmes, tu peux indiquer les modifications dans la partie "répondre".

[medou coulibaly]

@Noemi oui je clique sur la partie " éditer " maintenant quand je modifie le poste et que j'essaie d'envoyer maintenant qu'on m'écrit en que je peux pas modifier le poste avant " 3600 s "

[Noemi]

@medou-coulibaly

Pour les deux premiers posts, tu as pu proposer deux versions, donc je ne vois pas ou est le problème.

[medou coulibaly]

@Noemi pour ce poste , j'essaie de modifier mais je n'arrive pas

[Noemi]

@medou-coulibaly

Précise ce que tu veux modifier.

[medou coulibaly]

@Noemi la première question bien avant la première intégrale j'ai oublié de mettre " calculer "

[Black-Jack]

Bonjour,

Tu dois faire un ENORME effort pour employer correctement les parenthèses.
Jadis, une méconnaissance de ce genre de chose en Supérieur et c'était la sanction immédiate ... carton rouge.

${\int }_0^a\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}dx$

Changement de variables : a-x = t
dx = -dt
x = 0 --> t = a
x = a --> t = 0

${\int }_0^a\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}dx=-{\int }_0^a\frac{f(a-t)}{f(a-t)+f(t)}={\int }_0^a\frac{f(a-t)}{f(a-t)+f(t)}$ (1)

On a donc : ${\int }_0^a\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}dx={\int }_0^a\frac{f(a-x)}{f(x)+f(a-x)}dx$

${\int }_0^a\frac{f(x)+f(a-x)}{f(x)+f(a-x)}dx={\int }_0^{a}dx=[x{]}_0^a$

${\int }_0^a\frac{f(x)+f(a-x)}{f(x)+f(a-x)}dx=a$

Avec (1) --> ${\int }_0^a\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}dx=\frac{a}{2}$

....................

Application, si on remet les parenthèses manquantes ...

Avec ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{(cos(x){)}^{sin(x)}}{(cos(x){)}^{sin(x)}+(sin(x){)}^{cos(x)}}dx$

avec $f(x)=(cos(x){)}^{sin(x)}$ et a = Pi/2, on a $f(x-a)=(sin(x){)}^{cos(x)}$

Et en appliquant le résultat de point trouvé au début, on a immédiatement :

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{(cos(x){)}^{sin(x)}}{(cos(x){)}^{sin(x)}+(sin(x){)}^{cos(x)}}dx=\frac{\frac{\pi }{2}}{2}=\frac{\pi }{4}$

---

[medou coulibaly]

@Black-Jack Bonjour, j'ai suivi de près votre travail, comme pour l'autre poste que vous avez eu à travailler dessus, on va attendre la confirmation d'une personne qui a pour spécialité mathématiques ?

[Black-Jack]

@medou-coulibaly a dit dans DM : Calcule d'intégrale :

@Black-Jack Bonjour, j'ai suivi de près votre travail, comme pour l'autre poste que vous avez eu à travailler dessus, on va attendre la confirmation d'une personne qui a pour spécialité mathématiques ?

Tu peux attendre si tu veux ... mais ce que j'ai écrit me semble correct.

Ce qui ne signifie pas qu'on peut le faire par d'autres méthodes.

[medou coulibaly]

@Black-Jack ok d'accord j'ai compris.
J'aimerais avoir d'aide pour la 2 )

[Donassi soungari Soro]

@Black-Jack bonjour monsieur. SVP j'ai du mal à comprendre la partie après on a donc, les deux lignes qui suivent.

[Black-Jack]

@Donassi-soungari-Soro a dit dans DM : Calcule d'intégrale :

@Black-Jack bonjour monsieur. SVP j'ai du mal à comprendre la partie après on a donc, les deux lignes qui suivent.

Bonjour,

Dans la ligne que j'ai noté (1), il manque des "dt" dans les 2 dernières intégrales.

En corrigeant quelques distractions ...

${\int }_0^a\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}dx$

Changement de variables : a-x = t
dx = -dt
x = 0 --> t = a
x = a --> t = 0

${\int }_0^a\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}dx=-{\int }_a^0\frac{f(a-t)}{f(a-t)+f(t)}dt={\int }_0^a\frac{f(a-t)}{f(a-t)+f(t)}dt$

On a donc : ${\int }_0^a\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}dx={\int }_0^a\frac{f(a-t)}{f(a-t)+f(t)}dt$

qui revient au même que : ${\int }_0^a\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}dx={\int }_0^a\frac{f(a-x)}{f(a-x)+f(x)}dx$ (1)
''''''''''''''

${\int }_0^a\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}dx+{\int }_0^a\frac{f(a-x)}{f(a-x)+f(x)}dx={\int }_0^a\frac{f(x)+f(a-x)}{f(a-x)+f(x)}dx={\int }_0^{a}dx=[x{]}_0^a=a$

On a donc : ${\int }_0^a\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}dx+{\int }_0^a\frac{f(a-x)}{f(a-x)+f(x)}dx=a$

Et avec (1), il vient alors :

${\int }_0^a\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}dx+{\int }_0^a\frac{f(x)}{f(a-x)+f(x)}dx=a$

$2{\int }_0^a\frac{f(x)}{f(a-x)+f(x)}dx=a$

${\int }_0^a\frac{f(x)}{f(a-x)+f(x)}dx=\frac{a}{2}$
'''''''''''''

Sauf distraction

[medou coulibaly]

@Black-Jack ok merci beaucoup
Mais nous sommes toujours bloqué sur la 2 )

[Donassi soungari Soro]

@Black-Jack merci beaucoup monsieur.

[Black-Jack]

Bonjour,

$\int \sqrt{\frac{3-th(x)}{1+th(x)}}dx$

Poser th(x) = t
dx/ch²(x) = dt
dx = ch²(x) dt
dx = dt/(1-th²(x))
dx = dt/(1-t²)

Et on arrive à : $\int \sqrt{\frac{3-t}{1+t}}\frac{dt}{1-t^2}$
Poser (3-t)/(1+t) = u²
t = (3-u²)/(u²+1)
dt = -8u/(u²+1)² du
1-t² = 8(u²-1)/(u²+1)²

Et on arrive (après simplification) à : $\int \frac{u^2}{u^2-1}du$

Qui donne facilement : $\int \frac{u^2}{u^2-1}du=-u+\frac{1}{2}.ln|\frac{1+u}{1-u}|$

Et avec $u=\sqrt{\frac{3-th(x)}{1-th(x)}}$

On a finalement :
$F(x)=-\sqrt{\frac{3-th(x)}{1-th(x)}}+\frac{1}{2}.ln|\frac{1+\sqrt{\frac{3-th(x)}{1-th(x)}}}{1-\sqrt{\frac{3-th(x)}{1-th(x)}}}|$ est UNE primitive de
$f(x)=\int \sqrt{\frac{3-th(x)}{1+th(x)}}dx$

[Black-Jack]

Rebonjour,

3. Une manière parmi d'autres ...

$I=\int \frac{3x+1}{(x^2+x+1{)}^3}dx$

Poser $x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}t$

$dx=\frac{\sqrt{3}}{2}dt$

$3x+4=\frac{3\sqrt{3}.t+5}{2}$

$I=\frac{\sqrt{3}}{4}\int \frac{3\sqrt{3}.t+5}{(t^2+1{)}^3}dt$

$I=\frac{16}{3}\int \frac{t}{(t^2+1{)}^3}dt+\frac{80.\sqrt{3}}{27}\int \frac{dt}{(t^2+1{)}^3}$ (1)

a) $\frac{16}{3}\int \frac{t}{(t^2+1{)}^3}dt=\frac{-4}{3(1+t^2{)}^2}$

b) $\int \frac{dt}{(t^2+1{)}^3}$

Poser t = tan(u)
dt = du/cos²(u)
t²+1 = 1/cos²(u)

et donc $\int \frac{dt}{(t^2+1{)}^3}=\int co{s}^4(u)du$
et avec cos^4(u) = 1/8 cos(4u) + 1/2 cos(2u) + 3/8, on a donc :
$\int \frac{dt}{(t^2+1{)}^3}=\frac{1}{32}.sin(4u)+\frac{1}{4}sin(2u)+\frac{3}{8}.u$
$\int \frac{dt}{(t^2+1{)}^3}=\frac{1}{32}.sin(4.arctan(t))+\frac{1}{4}sin(2arctan(t))+\frac{3}{8}.arctan(t)$

Tout cela remis dans (1) donne :

$I=\frac{-4}{3(1+t^2{)}^2}+\frac{80.\sqrt{3}}{27}\ast (\frac{1}{32}.sin(4.arctan(t))+\frac{1}{4}sin(2arctan(t))+\frac{3}{8}.arctan(t))$

Avec $t=\frac{2}{\sqrt{3}}.(x+\frac{1}{2})$
''''''''''
On peut s'arrêter là ...

Ou bien, si on n'aime pas les formes sin(4.arctan(t)) et sin(2.arctan(t)), on peut les triturer un peu.

Par exemple ainsi :

sin(2.arctan(t)) = 2*sin(arctan(t)).cos(arctan(t))
Et comme $sin(arctan(t))=\frac{x}{\sqrt{1+t^2}}$ et $cos(arctan(t))=\frac{1}{\sqrt{1+x{t}^2}}$, on a :

$sin(2.arctan(t))=2.\frac{t}{1+t^2}$ (avec $t=\frac{2}{\sqrt{3}}.(x+\frac{1}{2})$)

On a aussi : $cos(2arctan(t))=1-2si{n}^2(arcctan(t))$
et donc :
$cos(2arctan(t))=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

et donc $sin(4.arctan(t))=2\ast sin(2.arctan(t))\ast cos(2.arctan(t))$

$sin(4.arctan(t))=4.\frac{t(1-t^2)}{(1+t^2{)}^2}$

On peut donc remplacer dans l'expression de I sin(4.arctan(t)) et sin(2.arctan(t)) par ce qui a été trouvé ci-dessus et avoir ainsi (après développement et simplifications) une forme plus "jolie" (mais ce n'est qu'une question d'esthétique).

[medou coulibaly]

@Black-Jack Bonjour monsieur, j'ai repris merci beaucoup

[medou coulibaly]

@Black-Jack ok merci beaucoup monsieur.
Je vais noter et prendre connaissance