Congruence arithmétique questions indépendantes ,sujet

[Marvin]

Bonjour , j'ai répondu aux questions de la partie 1 de ce devoir, mais je voulais savoir si quelqu'un pourrai corrigé mes éventuelles erreurs svp?

I. Soit p un nombre premier, et a un entier non multiple de p.
Dans cette question, on va d´démontrer la congruence
a
p−1 ≡ 1 mod p
connue sous le nom de petit théorème de Fermat.
On considère l’ensemble A = {a, 2a, . . . ,(p − 1)a} = {ka, 1 ≤ k ≤ p − 1}.

1. Soit k un entier relatif ; montrer que p divise ka si, et seulement si p divise
   k. En d´déduire que p ne divise aucun des ´éléments de A.
2. Pour 1 ≤ i ≤ p − 1, on note ai
   le reste de la division euclidienne de ia par
   p.
   a. Montrer que les ai
   , 1 ≤ i ≤ p − 1 sont non nuls, et deux `a deux
   distincts.
   b. En d´déduire qu’on a {ai
   , 1 ≤ i ≤ p − 1} = {1, . . . , p − 1}.
3. On note P le produit de tous les ´éléments de A. Montrer qu’on a l’égalité
   P = a
   p−1
   (p − 1)!, et la congruence P ≡ (p − 1)! mod p.
4. En déduire le résultat.

II. On pose p = 19 et a = 2 dans cette question.

1. Montrer que a et p sont premiers entre eux, qu’il existe un plus petit
   entier naturel non nul k tel que 2k ≡ 1 mod 19, et que cet entier k est
   inférieur ou ´égal `a 18.
   Définition. On appelle l’entier k d´défini ci-dessus l’ordre de 2, et on le
   note ord(2). On dit que 2 est primitif modulo 19 si ord(2) = 18.
2. Soit k un entier naturel. Montrer que 2k ≡ 1 mod 19 si, et seulement si
   ord(2) divise k.
3. En d´déduire que ord(2) est un diviseur de 18.
4. Ecrire un algorithme permettant de calculer l’ordre de 2. ´
5. a. Déterminer l’ensemble des diviseurs de 18.
   b. Montrer que 2 est primitif modulo 19 si, et seulement si on a 29 6≡ 1
   mod 19 et 22 6≡ 1 mod 19.
   c. En d´déduire que 2 est primitif modulo 19.

Voila ma rédaction.

1. $p$ et $a$ sont premiers entre eux.
   D'après le théorème de Gauss : $p$ premier avec $a$ donc $p$ divise $ka$ si et seulement si $p$ divise $k$

$p$ est premier et $1\le k\le p-1$ donc $p$ ne divise aucun nombre $k$ avec $1\le k\le p-1$ donc d'après le raisonnement précédent $p$ ne divise aucun $ka$ avec $1\le k\le p-1$

2. a. En considérant la division euclidienne par $p$ on a : $ia=pq+a_i$ avec $0\le a_i\le p-1$
   $a_i=0$ implique $p$ divise $ia$ en contradiction avec la question 1. donc les $ia$ sont non nuls.

Les éléments de $A$ étant 2 à 2 distincts les $a_i$ sont 2 à 2 distincts.

b. Les $a_i$ sont $(p-1)$ entiers compris entre 1 et $p-1$, 2 à 2 distincts donc ce sont les entiers compris au sens large entre 1 et $p-1$
Question 3)
Pour chaque élément de A, le reste de la division euclidienne de ia par p est un des nombres de l'ensemble {1, 2, ..., p-1}. Donc, P est le produit de tous les éléments de l'ensemble {1, 2, ..., p-1}, c'est-à-dire le produit (p-1)!.

Maintenant, pour montrer que P ≡ (p-1)! (mod p), nous pouvons exprimer chaque élément de A comme ai ≡ i (mod p). Donc, le produit P peut être écrit comme P ≡ 1 * 2 * ... * (p-1) (mod p), ce qui est équivalent à P ≡ (p-1)! (mod p).

4)À partir de la congruence P ≡ (p-1)! (mod p), nous pouvons diviser les deux côtés par (p-1)! pour obtenir P/(p-1)! ≡ 1 (mod p).